Q5: Calcule a matriz A, sabendo que:
  • a_{11}=-12,
  • Núcleo A=\operatorname{span}\{(-1,-2,0),(-3,0,2)\} e
  • Imagem A=\operatorname{span}\{(-2,3,-3)\}.
A entrada a_{23} vale:
(A) 25
(B) 26
(C) 27
(D) 28
(E) 29
(F) 30
(G) 31
(H) 32

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a_{11}=-12.
  • \ker A=\operatorname{span}\{(-1,-2,0),(-3,0,2)\}.
  • \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{(-2,3,-3)\}.
    O que se pede: valor da entrada a_{23} (segunda linha, terceira coluna) da matriz A.

Passo 2

Vou trabalhar com as colunas de A. Seja c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}^3 as colunas de A, de modo que, para x=(x_1,x_2,x_3),
A x = x_1 c_1 + x_2 c_2 + x_3 c_3.
A condição \ker A=\operatorname{span}\{u_1,u_2\} com u_1=(-1,-2,0) e u_2=(-3,0,2) significa que
A u_1 = 0,\qquad A u_2 = 0.
Escrevendo essas igualdades em termos das colunas:
A u_1 = -1\cdot c_1 + (-2)\cdot c_2 + 0\cdot c_3 = -c_1 - 2c_2 = 0,
A u_2 = -3\cdot c_1 + 0\cdot c_2 + 2\cdot c_3 = -3c_1 + 2c_3 = 0.
Portanto obtemos as relações entre colunas:
c_1 = -2c_2 \quad\text{e}\quad c_3 = \tfrac{3}{2}c_1.

Passo 3

A condição \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{v\} com v=(-2,3,-3) significa que cada coluna é um múltiplo de v. Logo existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
c_1=\alpha v,\qquad c_2=\beta v,\qquad c_3=\gamma v.
Usando c_1=-2c_2 e c_3=\tfrac{3}{2}c_1 obtemos relações entre \alpha,\beta,\gamma:
\alpha v = -2\beta v \implies \alpha = -2\beta,
\gamma v = \tfrac{3}{2}\alpha v \implies \gamma = \tfrac{3}{2}\alpha.

Passo 4

Parametrizo com \beta=t. Então
\alpha = -2t,\qquad \gamma = \tfrac{3}{2}\alpha = \tfrac{3}{2}(-2t) = -3t.
Portanto as colunas são
c_1 = -2t\,v,\qquad c_2 = t\,v,\qquad c_3 = -3t\,v.
Isso pode ser escrito como produto externo:
A = t\; v \begin{pmatrix}-2 & 1 & -3\end{pmatrix}.
Isto mostra que todas as entradas de A são proporcionais a t e aos componentes de v.

Passo 5

Agora usamos a_{11}=-12. A entrada a_{11} é a primeira componente de c_1. Como c_1=-2t\,v e v_1=-2, temos
a_{11} = \text{(1ª comp. de }c_1) = -2t\cdot v_1 = -2t\cdot(-2) = 4t.ª
Como a_{11}=-12, segue
4t = -12 \implies t = -3.

Passo 6

Com t=-3 calculo as colunas explicitamente.
Primeiro v=(-2,3,-3).
c_1 = -2t\,v = -2(-3)\,v = 6v = 6(-2,3,-3) = (-12,18,-18).
c_2 = t\,v = -3\,v = -3(-2,3,-3) = (6,-9,9).
c_3 = -3t\,v = -3(-3)\,v = 9v = 9(-2,3,-3) = (-18,27,-27).
Verificação rápida: a_{11} é a primeira componente de c_1, que é -12, conforme dado.

Passo 7

A entrada procurada a_{23} é a segunda componente da coluna c_3. Da expressão acima,
c_3 = (-18,\,27,\,-27),
logo
a_{23}=27.

Resposta

(C) 27

Exercícios relacionados