Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (-1,-3,2,5) e (3,-2,-5,4) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede: determinar em qual dos intervalos dados está o ângulo \theta entre os vetores (-1,-3,2,5) e (3,-2,-5,4) em \mathbb{R}^4.
Informações dadas (os dois vetores):
  • Primeiro vetor: u = (-1,-3,2,5).
  • Segundo vetor: v = (3,-2,-5,4).

Passo 2

Recordando a definição que vamos usar (aqui explico direitinho): para dois vetores u e v em \mathbb{R}^n o produto escalar é
u\cdot v = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i,
ou seja, multiplica-se componente a componente e soma. A relação entre o produto escalar e o ângulo \theta entre os vetores é
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|},
onde \|u\| é a norma (comprimento) do vetor definida por
\|u\| = \sqrt{u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2}.
Explicando com calma: u\cdot v mede quanto os vetores “apontam na mesma direção”; dividir por \|u\|\|v\| normaliza para obter um número entre -1 e 1, que é \cos\theta. Depois basta inverter o cosseno para achar \theta.

Passo 3

Calcular o produto escalar u\cdot v usando as componentes dos vetores (faço passo a passo):
u\cdot v = (-1)\cdot 3 + (-3)\cdot(-2) + 2\cdot(-5) + 5\cdot 4.
Agora calcule cada termo:
(-1)\cdot 3 = -3,\quad (-3)\cdot(-2)=6,\quad 2\cdot(-5)=-10,\quad 5\cdot 4=20.
Somando:
u\cdot v = -3 + 6 -10 + 20 = 13.

Passo 4

Calcular as normas \|u\| e \|v\| componente a componente.
Para u:
\|u\|^{2} = (-1)^2 + (-3)^2 + 2^2 + 5^2 = 1 + 9 + 4 + 25 = 39,
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\|u\| = \sqrt{39}.
Para v:
\|v\|^{2} = 3^2 + (-2)^2 + (-5)^2 + 4^2 = 9 + 4 + 25 + 16 = 54,
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\|v\| = \sqrt{54} = \sqrt{9\cdot 6} = 3\sqrt{6}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{13}{\sqrt{39}\cdot\sqrt{54}}.
Simplifico o denominador: \sqrt{39}\sqrt{54}=\sqrt{39\cdot 54}=\sqrt{2106}. Note que 2106 = 81\cdot 26 (pois 81\cdot 26 = 2106), então
\sqrt{2106} = 9\sqrt{26}.
Portanto obtemos a forma exata
\cos\theta = \frac{13}{9\sqrt{26}}.

Passo 6

Vamos obter uma aproximação numérica para entender onde \theta se situa:
\sqrt{26}\approx 5{,}0990195,\quad 9\sqrt{26}\approx 45{,}8911756,
\cos\theta \approx \frac{13}{45{,}8911756}\approx 0{,}2834.
Então \cos\theta\approx 0{,}2834. Agora compare com os cossenos dos ângulos limites das alternativas:
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}=0{,}5,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Como 0<0{,}2834<0{,}5, isso implica que
\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}.
(Observação: \cos é decrescente em [0,\pi], então diminuir o cosseno aumenta o ângulo.)

Passo 7

Interpretação final com relação às alternativas: o intervalo que contém \theta é \dfrac{\pi}{3}<\theta\le \dfrac{\pi}{2} (a desigualdade com \le em \dfrac{\pi}{2} na opção não é um problema porque temos \theta<\dfrac{\pi}{2} estrito; a opção contém esse intervalo). Isso corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D)

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