Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede: determinar em qual dos intervalos dados está o ângulo
entre os vetores
e
em
.
Informações dadas (os dois vetores):
Informações dadas (os dois vetores):
- Primeiro vetor:
. - Segundo vetor:
.
Passo 2
Recordando a definição que vamos usar (aqui explico direitinho): para dois vetores
e
em
o produto escalar é
ou seja, multiplica-se componente a componente e soma. A relação entre o produto escalar e o ângulo
entre os vetores é
onde
é a norma (comprimento) do vetor definida por
Explicando com calma:
mede quanto os vetores “apontam na mesma direção”; dividir por
normaliza para obter um número entre
e
, que é
. Depois basta inverter o cosseno para achar
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
usando as componentes dos vetores (faço passo a passo):
Agora calcule cada termo:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
componente a componente.
Para :
Para
logo
Para
:
logo
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do cosseno:
Simplifico o denominador:
. Note que
(pois
), então
Portanto obtemos a forma exata
Passo 6
Vamos obter uma aproximação numérica para entender onde
se situa:
Então
. Agora compare com os cossenos dos ângulos limites das alternativas:
Como
, isso implica que
(Observação:
é decrescente em
, então diminuir o cosseno aumenta o ângulo.)
Passo 7
Interpretação final com relação às alternativas: o intervalo que contém
é
(a desigualdade com
em
na opção não é um problema porque temos
estrito; a opção contém esse intervalo). Isso corresponde à alternativa (D).
Resposta
(D)