Exercício 2.2.7. Usando o Algoritmo da Divisão, mostre que:
o quadrado de todo inteiro é da forma 3 k ou 3 k+1;

Passo 1

O enunciado pede: usando o Algoritmo da Divisão, mostrar que o quadrado de todo inteiro é da forma \,3k ou \,3k+1.\n
Informações dadas (claras e suficientes):
  • O número considerado é um inteiro genérico, chamemos de \,n.
  • Deve-se usar o Algoritmo da Divisão com divisor \,3. Nada mais é fornecido.

Passo 2

O que diz o Algoritmo da Divisão (vamos aplicá-lo com divisor \,3). Para qualquer inteiro \,n existem inteiros únicos \,q (quociente) e \,r (resto) tais que
n = 3q + r,
com
0 \le r \le 2.
Explicação das letras: \,q é o quociente inteiro da divisão de \,n por \,3 e \,r é o resto, que só pode ser \,0, \,1 ou \,2. Isso é tudo: qualquer inteiro \,n se escreve assim.

Passo 3

Plano prático (simples): vamos elevar ao quadrado a expressão \,n=3q+r e analisar os três possíveis valores de \,r. Se em cada caso \,n^2 sair na forma \,3k ou \,3k+1, concluímos o que se pede. Observação: sempre que uma expressão tem um fator \,3 somado a \,1, ela é da forma \,3k+1; se tem só fator \,3 é da forma \,3k. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 4

Caso \,r=0. Então \,n=3q. Calcula-se
n^2=(3q)^2 = 9q^2 = 3\bigl(3q^2\bigr).
Aqui podemos tomar \,k=3q^2 (que é inteiro), logo \,n^2 está na forma \,3k. Portanto, quando o resto é \,0, o quadrado é da forma \,3k.

Passo 5

Caso \,r=1. Então \,n=3q+1. Calcula-se
n^2=(3q+1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3\bigl(3q^2+2q\bigr) + 1.
Tomando \,k=3q^2+2q (inteiro), obtemos \,n^2 = 3k + 1. Portanto, quando o resto é \,1, o quadrado é da forma \,3k+1.

Passo 6

Caso \,r=2. Então \,n=3q+2. Calcula-se
n^2=(3q+2)^2 = 9q^2 + 12q + 4.
Agora escrevemos \,4 = 3\cdot 1 + 1 e agrupamos:
n^2 = 9q^2 + 12q + 3\cdot 1 + 1 = 3\bigl(3q^2+4q+1\bigr) + 1.
Tomando \,k=3q^2+4q+1 (inteiro), obtemos \,n^2 = 3k + 1. Portanto, quando o resto é \,2, o quadrado também é da forma \,3k+1.

Passo 7

Resumo das três possibilidades (mostradas acima, sem pular etapas):
  • Se \,n=3q então \,n^2=3(3q^2) — forma \,3k.
  • Se \,n=3q+1 então \,n^2=3(3q^2+2q)+1 — forma \,3k+1.
  • Se \,n=3q+2 então \,n^2=3(3q^2+4q+1)+1 — forma \,3k+1.
Isso cobre todos os inteiros porque o Algoritmo da Divisão garante que todo inteiro cai em exatamente um desses três casos. Portanto a demonstração está concluída.

Passo 8

Dica rápida prática para a prova (truque mental): em vez de fazer todas as contas, pode-se raciocinar com restos (aritmética modular): os restos possíveis de \,n módulo \,3 são \,0,1,2; seus quadrados dão restos \,0,1,1 respectivamente, ou seja, n^2\equiv 0 ou 1\pmod{3}. Isso é a mesma conclusão, mas escrito de modo mais compacto. Exemplos numéricos fáceis para fixar: \,4^2=16=3\cdot5+1, \,5^2=25=3\cdot8+1, \,3^2=9=3\cdot3.

Resposta

Todo quadrado de inteiro é da forma 3k ou 3k+1.

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