Exercício 2.2.7. Usando o Algoritmo da Divisão, mostre que:
o quadrado de todo inteiro é da forma
ou
;
o quadrado de todo inteiro é da forma
Passo 1
O enunciado pede: usando o Algoritmo da Divisão, mostrar que o quadrado de todo inteiro é da forma
ou
.\n
Informações dadas (claras e suficientes):
Informações dadas (claras e suficientes):
- O número considerado é um inteiro genérico, chamemos de
. - Deve-se usar o Algoritmo da Divisão com divisor
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
O que diz o Algoritmo da Divisão (vamos aplicá-lo com divisor
). Para qualquer inteiro
existem inteiros únicos
(quociente) e
(resto) tais que
com
Explicação das letras:
é o quociente inteiro da divisão de
por
e
é o resto, que só pode ser
,
ou
. Isso é tudo: qualquer inteiro
se escreve assim.
Passo 3
Plano prático (simples): vamos elevar ao quadrado a expressão
e analisar os três possíveis valores de
. Se em cada caso
sair na forma
ou
, concluímos o que se pede. Observação: sempre que uma expressão tem um fator
somado a
, ela é da forma
; se tem só fator
é da forma
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 4
Caso
. Então
. Calcula-se
Aqui podemos tomar
(que é inteiro), logo
está na forma
. Portanto, quando o resto é
, o quadrado é da forma
.
Passo 5
Caso
. Então
. Calcula-se
Tomando
(inteiro), obtemos
. Portanto, quando o resto é
, o quadrado é da forma
.
Passo 6
Caso
. Então
. Calcula-se
Agora escrevemos
e agrupamos:
Tomando
(inteiro), obtemos
. Portanto, quando o resto é
, o quadrado também é da forma
.
Passo 7
Resumo das três possibilidades (mostradas acima, sem pular etapas):
- Se
então — forma . - Se
então — forma . - Se
então — forma .
Isso cobre todos os inteiros porque o Algoritmo da Divisão garante que todo inteiro cai em exatamente um desses três casos. Portanto a demonstração está concluída.
Passo 8
Dica rápida prática para a prova (truque mental): em vez de fazer todas as contas, pode-se raciocinar com restos (aritmética modular): os restos possíveis de
módulo
são
; seus quadrados dão restos
respectivamente, ou seja,
ou
. Isso é a mesma conclusão, mas escrito de modo mais compacto. Exemplos numéricos fáceis para fixar:
,
,
.
Resposta
Todo quadrado de inteiro é da forma
ou
.