Seja C uma curva com equações paramétricas x=a \cos (\omega t), y=b \sin (\omega t), para t \in[0,2 \pi / \omega], onde a, b e \omega são constantes positivas.
(a) Mostre que C é uma elipse.
(b) Encontre os pontos onde temos tangência vertical. Conclua que são os vértices ( \pm a, 0). ( R : Ocorre para t=0 e t=\pi / \omega.)
(c) Obtenha a equação da reta tangente no ponto onde t=\pi / 4 \omega. (R.: y=-\frac{b}{a} x+b \sqrt{2}.)

Passo 1

O enunciado dá uma curva C parametrizada por
x = a\cos(\omega t),\qquad y = b\sin(\omega t),
com t\in[0,2\pi/\omega] e a>0, b>0, \omega>0. As perguntas são:
  1. (a) Mostrar que C é uma elipse (ou seja, obter a equação cartesiana que a curva satisfaz).
  2. (b) Encontrar os pontos de tangência vertical e concluir que são os vértices (\pm a,0). O enunciado diz que isso ocorre para t=0 e t=\pi/\omega.
  3. (c) Determinar a equação da reta tangente no ponto correspondente a t=\pi/(4\omega). O enunciado dá como resposta esperada y=-\dfrac{b}{a}x+b\sqrt{2}.

Passo 2

(a) Ideia para mostrar que C é uma elipse: eliminar o parâmetro t entre x e y e usar a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. Vou explicar cada passo devagarinho para ficar claro como fazer numa prova.
Temos \;x=a\cos(\omega t)\; e \;y=b\sin(\omega t). Isolando os cossenos e senos:
\cos(\omega t)=\frac{x}{a},\qquad \sin(\omega t)=\frac{y}{b}.
A identidade trigonométrica básica diz que para todo ângulo \theta,
\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.
Aqui usamos \theta=\omega t. Substituindo as expressões acima, obtemos
\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1.

Passo 3

Interpretação e conclusão de (a): A equação
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
é exatamente a equação padrão de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal a e semi-eixo vertical b. Portanto C é uma elipse. Observação prática: os interceptos com o eixo x são (\pm a,0) e com o eixo y são (0,\pm b), o que já dá uma ideia geométrica dos “vértices”.

Passo 4

(b) Para achar tangência vertical usamos a derivada da curva: a inclinação da tangente numa curva parametrizada é dada por \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(dy/dt)}{(dx/dt)}, desde que dx/dt\neq0. Vou primeiro calcular dx/dt e dy/dt, explicando a regra usada.
As funções dadas são compostas por \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Pela regra da cadeia, a derivada de \cos(\omega t) em relação a t é -\omega\sin(\omega t), e a derivada de \sin(\omega t) é \omega\cos(\omega t). Assim:
\frac{dx}{dt} = a\cdot \frac{d}{dt}\cos(\omega t) = a\cdot\big(-\omega\sin(\omega t)\big) = -a\omega\sin(\omega t),
\frac{dy}{dt} = b\cdot \frac{d}{dt}\sin(\omega t) = b\cdot\big(\omega\cos(\omega t)\big) = b\omega\cos(\omega t).

Passo 5

Condição de tangência vertical: a reta tangente é vertical quando a derivada \dfrac{dy}{dx} não existe por dx/dt=0 enquanto dy/dt\neq0. Em termos práticos, resolvemos dx/dt=0 e verificamos que dy/dt\neq0 nos tempos encontrados.
Temos \dfrac{dx}{dt}=-a\omega\sin(\omega t). Como a\omega>0, a condição \dfrac{dx}{dt}=0 é equivalente a
\sin(\omega t)=0.
As soluções são \omega t = k\pi para inteiro k, ou seja
t = \frac{k\pi}{\omega}.
No intervalo t\in[0,2\pi/\omega] temos k=0,1,2, isto é t=0,\;\frac{\pi}{\omega},\;\frac{2\pi}{\omega}. Note que t=0 e t=2\pi/\omega representam o mesmo ponto da curva (fechamento do período).

Passo 6

Verificação de dy/dt não nulo: compute \dfrac{dy}{dt}=b\omega\cos(\omega t).
  • Em t=0, \cos(0)=1 então \dfrac{dy}{dt}=b\omega\neq0.
  • Em t=\frac{\pi}{\omega}, \cos(\pi)=-1 então \dfrac{dy}{dt}=-b\omega\neq0.
  • Em t=\frac{2\pi}{\omega} é repetição de t=0.
Portanto em t=0 e t=\pi/\omega temos tangência vertical. Agora determinamos os pontos correspondentes na elipse:
  • Para t=0: x=a\cos(0)=a,\; y=b\sin(0)=0 → ponto (a,0).
  • Para t=\pi/\omega: x=a\cos(\pi)=-a,\; y=b\sin(\pi)=0 → ponto (-a,0).
Conclusão de (b): os pontos de tangência vertical são (\pm a,0), ou seja, os vértices horizontais da elipse.

Passo 7

(c) Equação da reta tangente no ponto t=\pi/(4\omega). Primeiro obtenho o ponto e a inclinação da tangente.
Coordenadas do ponto: \omega t = \pi/4, então
x_0 = a\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=a\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2},
y_0 = b\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=b\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{b\sqrt{2}}{2}.
Inclinação m=\dfrac{dy}{dx} em geral:
\frac{dy}{dx} = \frac{b\omega\cos(\omega t)}{-a\omega\sin(\omega t)} = -\frac{b}{a}\,\frac{\cos(\omega t)}{\sin(\omega t)} = -\frac{b}{a}\cot(\omega t).
Em \omega t=\pi/4, \cot(\pi/4)=1, logo
m = -\frac{b}{a}.

Passo 8

Agora uso a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y-y_0 = m(x-x_0).
Substituindo x_0=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}, y_0=\dfrac{b\sqrt{2}}{2} e m=-\dfrac{b}{a}, obtemos
y-\frac{b\sqrt{2}}{2} = -\frac{b}{a}\left(x-\frac{a\sqrt{2}}{2}\right).
Faço a álgebra para simplificar: expandindo o lado direito,
y-\frac{b\sqrt{2}}{2} = -\frac{b}{a}x + \frac{b}{a}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2} = -\frac{b}{a}x + \frac{b\sqrt{2}}{2}.
Somando \dfrac{b\sqrt{2}}{2} em ambos os lados,
y = -\frac{b}{a}x + \frac{b\sqrt{2}}{2} + \frac{b\sqrt{2}}{2} = -\frac{b}{a}x + b\sqrt{2}.
Essa é exatamente a equação dada no enunciado.

Resposta

\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
Pontos de tangência vertical: (a,0) e (-a,0) ocorrendo para t=0 e t=\pi/\omega ( t=2\pi/\omega repete t=0 ).
Equação da reta tangente em t=\pi/(4\omega): \displaystyle y=-\frac{b}{a}x+b\sqrt{2}.

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