Seja
uma curva com equações paramétricas
, para
, onde
e
são constantes positivas.
(a) Mostre que
é uma elipse.
(b) Encontre os pontos onde temos tangência vertical. Conclua que são os vértices
. ( R : Ocorre para
e
.)
(c) Obtenha a equação da reta tangente no ponto onde
. (R.:
.)
(a) Mostre que
(b) Encontre os pontos onde temos tangência vertical. Conclua que são os vértices
(c) Obtenha a equação da reta tangente no ponto onde
Passo 1
O enunciado dá uma curva
parametrizada por
com
e
,
,
. As perguntas são:
- (a) Mostrar que
é uma elipse (ou seja, obter a equação cartesiana que a curva satisfaz). - (b) Encontrar os pontos de tangência vertical e concluir que são os vértices
. O enunciado diz que isso ocorre para e . - (c) Determinar a equação da reta tangente no ponto correspondente a
. O enunciado dá como resposta esperada .
Passo 2
(a) Ideia para mostrar que
é uma elipse: eliminar o parâmetro
entre
e
e usar a identidade trigonométrica
. Vou explicar cada passo devagarinho para ficar claro como fazer numa prova.
Temos
e
. Isolando os cossenos e senos:
A identidade trigonométrica básica diz que para todo ângulo
,
Aqui usamos
. Substituindo as expressões acima, obtemos
Passo 3
Interpretação e conclusão de (a): A equação
é exatamente a equação padrão de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical
. Portanto
é uma elipse. Observação prática: os interceptos com o eixo
são
e com o eixo
são
, o que já dá uma ideia geométrica dos “vértices”.
Passo 4
(b) Para achar tangência vertical usamos a derivada da curva: a inclinação da tangente numa curva parametrizada é dada por
, desde que
. Vou primeiro calcular
e
, explicando a regra usada.
As funções dadas são compostas por
e
. Pela regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
. Assim:
Passo 5
Condição de tangência vertical: a reta tangente é vertical quando a derivada
não existe por
enquanto
. Em termos práticos, resolvemos
e verificamos que
nos tempos encontrados.
Temos
. Como
, a condição
é equivalente a
As soluções são
para inteiro
, ou seja
No intervalo
temos
, isto é
. Note que
e
representam o mesmo ponto da curva (fechamento do período).
Passo 6
Verificação de
não nulo: compute
.
- Em
, então . - Em
, então . - Em
é repetição de .
Portanto em
e
temos tangência vertical. Agora determinamos os pontos correspondentes na elipse:
- Para
: → ponto . - Para
: → ponto .
Conclusão de (b): os pontos de tangência vertical são
, ou seja, os vértices horizontais da elipse.
Passo 7
(c) Equação da reta tangente no ponto
. Primeiro obtenho o ponto e a inclinação da tangente.
Coordenadas do ponto:
, então
Inclinação
em geral:
Em
,
, logo
Passo 8
Agora uso a forma ponto-inclinação da reta tangente:
Substituindo
,
e
, obtemos
Faço a álgebra para simplificar: expandindo o lado direito,
Somando
em ambos os lados,
Essa é exatamente a equação dada no enunciado.
Resposta
Pontos de tangência vertical:
Equação da reta tangente em