Calcule as seguintes integrais de funções racionais. Trabalhe todos os cálculos, evitando usar as fórmulas de recorrência do fechamento da aula.
6.
\int \frac{d x}{x\left(x^{2}+1\right)}. Resposta. \ln \frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+1}}+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x\left(x^{2}+1\right)}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função integranda é uma função racional (fração de polinômios).
  • O denominador fatoriza como x vezes x^{2}+1.
  • Há uma singularidade em x=0 (logo a primitiva valerá em intervalos que não contenham 0).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva explícita (uma expressão que, derivada, retorne a integranda) e apresentar a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: como temos uma função racional cujo denominador é um produto de um fator linear ( x) e um quadrático irreduzível sobre os reais ( x^{2}+1), o método natural é decompor a fração em frações parciais. Isso permite integrar termo a termo com primitivas simples (logaritmos e substituição). Vou explicar o método de frações parciais passo a passo, sem usar fórmulas prontas.

Passo 3

Montagem da decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Explicação: para um fator linear x usamos um termo \dfrac{A}{x}; para o quadrático irreduzível x^{2}+1 usamos um numerador de grau menor que 2, ou seja Bx+C.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x\left(x^{2}+1\right) para obter uma identidade polinomial:
1 = A\left(x^{2}+1\right) + (Bx+C)x.
Agora expandimos o lado direito:
1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x = (A+B)x^{2} + C x + A.

Passo 5

Igualamos coeficientes dos dois lados da identidade polinomial. Do lado esquerdo temos o polinômio constante 1\), que corresponde a \(0\cdot x^{2}+0\cdot x + 1\). Assim obtemos o sistema: \[\begin{cases} A+B = 0 &\text{(coeficiente de }x^{2}\text{)}\\[4pt] C = 0 &\text{(coeficiente de }x\text{)}\\[4pt] A = 1 &\text{(termo independente)} \end{cases}
Resolvendo: de A=1\] segue \(B=-1, e C=0.]

Passo 6

Substituímos os coeficientes encontrados na decomposição:
\frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)}=\frac{1}{x}+\frac{-x}{x^{2}+1}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}.
Agora é só integrar termo a termo:
\int \frac{dx}{x\left(x^{2}+1\right)}=\int \frac{dx}{x} - \int \frac{x\,dx}{x^{2}+1}.

Passo 7

Integração do primeiro termo. Sabemos que a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} para x\neq 0. Portanto
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_{1}.
Observação didática: usamos \ln|x| (valor absoluto) porque a primitiva deve funcionar tanto para x>0 quanto para x<0.

Passo 8

Integração do segundo termo por substituição. Fazemos a substituição
u = x^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Logo
\int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\ln u + C_{2} = \frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C_{2}.
Com o sinal negativo do integrando original, isso dá
- \int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} = -\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right) + C_{3}.

Passo 9

Juntando os dois resultados (e absorvendo as constantes C_{1} e C_{3} numa constante única C), obtemos a primitiva:
\ln|x| - \frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right) + C.
Usando propriedade dos logaritmos ( \ln a - \tfrac{1}{2}\ln b = \ln\!\big(a / \sqrt{b}\big)) podemos escrever numa forma compacta:
\ln\frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+1}} + C.

Resposta

\ln \frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+1}}+C

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