Calcule as seguintes integrais de funções racionais. Trabalhe todos os cálculos, evitando usar as fórmulas de recorrência do fechamento da aula.
6.
. Resposta.
.
6.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A função integranda é uma função racional (fração de polinômios).
- O denominador fatoriza como
vezes . - Há uma singularidade em
(logo a primitiva valerá em intervalos que não contenham ). - O objetivo é encontrar uma primitiva explícita (uma expressão que, derivada, retorne a integranda) e apresentar a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: como temos uma função racional cujo denominador é um produto de um fator linear (
) e um quadrático irreduzível sobre os reais (
), o método natural é decompor a fração em frações parciais. Isso permite integrar termo a termo com primitivas simples (logaritmos e substituição). Vou explicar o método de frações parciais passo a passo, sem usar fórmulas prontas.
Passo 3
Montagem da decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Explicação: para um fator linear
usamos um termo
; para o quadrático irreduzível
usamos um numerador de grau menor que 2, ou seja
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Agora expandimos o lado direito:
Passo 5
Igualamos coeficientes dos dois lados da identidade polinomial. Do lado esquerdo temos o polinômio constante
Resolvendo: de
, e
.]
Passo 6
Substituímos os coeficientes encontrados na decomposição:
Agora é só integrar termo a termo:
Passo 7
Integração do primeiro termo. Sabemos que a derivada de
é
para
. Portanto
Observação didática: usamos
(valor absoluto) porque a primitiva deve funcionar tanto para
quanto para
.
Passo 8
Integração do segundo termo por substituição. Fazemos a substituição
Logo
Com o sinal negativo do integrando original, isso dá
Passo 9
Juntando os dois resultados (e absorvendo as constantes
e
numa constante única
), obtemos a primitiva:
Usando propriedade dos logaritmos (
) podemos escrever numa forma compacta: