Calcule as seguintes integrais de funções racionais. Trabalhe todos os cálculos, evitando usar as fórmulas de recorrência do fechamento da aula.
1.
\int \frac{2 x-1}{(x-1)(x-2)} d x. Resposta. \ln \left|\frac{(x-2)^{3}}{x-1}\right|+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função racional dada. Informações fornecidas:
\displaystyle \int \frac{2x-1}{(x-1)(x-2)}\,dx.
Observações úteis que vêm do enunciado: o denominador já está fatorado como (x-1)(x-2), que são dois fatores lineares distintos, e o numerador tem grau menor que o denominador (grau 1 contra grau 2), ou seja, a fração é própria.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática, tipo conversa de amigo): como temos uma fração racional própria e o denominador é produto de fatores lineares distintos, a forma mais direta é decompor a função em frações parciais. A ideia é escrever a função como soma de termos do tipo \dfrac{A}{x-1} e \dfrac{B}{x-2} com constantes A e B. Isso transforma a integral em somas de integrais simples do tipo \int \dfrac{1}{x-a}\,dx, que sabemos integrar.

Passo 3

Montagem da decomposição em frações parciais. Suponha
\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2) (válido para x\neq1,2) obtemos a identidade
2x-1=A(x-2)+B(x-1).

Passo 4

Determinação das constantes A e B. Método prático: tomar valores que anulam termos.
  • Colocando x=1 na identidade 2x-1=A(x-2)+B(x-1) obtemos
2\cdot 1 -1 = A(1-2)+B\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 1 = -A \quad\Rightarrow\quad A=-1.
  • Colocando x=2 obtemos
2\cdot 2 -1 = A\cdot 0 + B(2-1) \quad\Rightarrow\quad 3 = B \quad\Rightarrow\quad B=3.
Portanto a decomposição é
\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)}=-\frac{1}{x-1}+\frac{3}{x-2}.

Passo 5

Agora separe a integral em duas integrais simples:
\int \frac{2x-1}{(x-1)(x-2)}\,dx=\int\!\left(-\frac{1}{x-1}+\frac{3}{x-2}\right)\,dx =\int -\frac{1}{x-1}\,dx+\int \frac{3}{x-2}\,dx.

Passo 6

Lembrete sobre a fórmula básica que vamos usar: a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. Assim
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.
Também usamos que constantes saem da integral: \int c\cdot f = c\int f.
Aplicando isso às duas integrais:
\int -\frac{1}{x-1}\,dx = -\ln|x-1|,\qquad \int \frac{3}{x-2}\,dx = 3\ln|x-2|.
Somando os resultados:
\int \frac{2x-1}{(x-1)(x-2)}\,dx = -\ln|x-1| + 3\ln|x-2| + C.

Passo 7

Opção de simplificar para um único logaritmo usando propriedades de log:
-\ln|x-1| + 3\ln|x-2| = \ln|x-2|^{3} - \ln|x-1| = \ln\left|\frac{(x-2)^{3}}{x-1}\right|.
Portanto a primitiva pode ser escrita como
\ln\left|\frac{(x-2)^{3}}{x-1}\right| + C.

Passo 8

Verificação rápida por derivação (confirmação): derivando \ln\left|\dfrac{(x-2)^{3}}{x-1}\right| obtemos
\frac{d}{dx}\bigg(3\ln|x-2|-\ln|x-1|\bigg)=\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x-1}=\frac{3(x-1)-(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)},
que é exatamente o integrando. Perfeito!

Resposta

\ln\left|\dfrac{(x-2)^{3}}{x-1}\right|+C

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