Calcule as seguintes integrais de funções racionais. Trabalhe todos os cálculos, evitando usar as fórmulas de recorrência do fechamento da aula.
1. \int \frac{2 x-1}{(x-1)(x-2)} d x. Resposta. \ln \left|\frac{(x-2)^{3}}{x-1}\right|+C.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função racional dada. Informações fornecidas: \displaystyle \int \frac{2x-1}{(x-1)(x-2)}\,dx.
Observações úteis que vêm do enunciado: o denominador já está fatorado como (x-1)(x-2), que são dois fatores lineares distintos, e o numerador tem grau menor que o denominador (grau 1 contra grau 2), ou seja, a fração é própria.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática, tipo conversa de amigo): como temos uma fração racional própria e o denominador é produto de fatores lineares distintos, a forma mais direta é decompor a função em frações parciais. A ideia é escrever a função como soma de termos do tipo \dfrac{A}{x-1} e \dfrac{B}{x-2} com constantes A e B. Isso transforma a integral em somas de integrais simples do tipo \int \dfrac{1}{x-a}\,dx, que sabemos integrar.
Passo 3
Montagem da decomposição em frações parciais. Suponha