Seja C a curva com equaçóes paramétricas x=2-t^3, y=2 t-1 e z=ln (t). Responda.
(a) Determine as coordenadas de um ponto P in R^3 em que a curva C intersepta o plano r y.
(b) Determine as equaçöes paramétricas da reta gamma tangente à curva C no ponto P obtido no item anterior.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma curva C definida pelas equações paramétricas x=2-t^3, y=2 t-1 e z=ln (t). O exercício pede duas coisas:
a) Encontrar as coordenadas de um ponto P onde essa curva intercepta um certo plano chamado "plano r y".
b) Determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva C nesse ponto P que encontramos no item anterior.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre interseção de curvas com planos e calcular a reta tangente usando derivadas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte a: Encontrar o ponto de interseção P com o plano r y
Primeiro, precisamos entender qual é o plano r y. Parece que há um pequeno erro de digitação, mas vamos supor que o plano seja definido pela equação y = r, onde r é uma constante. Se não for esse o caso, você pode ajustar a solução conforme o plano correto.
Para encontrar onde a curva intercepta o plano y = r, vamos igualar a equação paramétrica de y a r:
2t - 1 = r
Resolvendo para t:
2t = r + 1 t = r + 12
Agora que temos o valor de t, podemos encontrar as coordenadas x e z correspondentes substituindo esse valor nas equações paramétricas de x e z:
x = 2 - (r + 12)^3 z = ln(r + 12)
Então, as coordenadas do ponto P são:
P(2 - (r + 12)^3, r, ln(r + 12))

Passo 3

Parte b: Determinar as equações paramétricas da reta tangente [\gamma) à curva no ponto
Para encontrar a reta tangente à curva no ponto , precisamos calcular o vetor tangente à curva em . Isso é feito calculando as derivadas das equações paramétricas em relação a e avaliando em .
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos :
O vetor tangente é, então:
Com o ponto e o vetor tangente , as equações paramétricas da reta tangente são:
Onde (s] é o parâmetro da reta.

Resposta

a) As coordenadas do ponto [P) são .
b) As equações paramétricas da reta tangente são:
Onde (s] é o parâmetro da reta.

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