Seja a curva com equaçóes paramétricas e . Responda.
(a) Determine as coordenadas de um ponto em que a curva intersepta o plano .
(b) Determine as equaçöes paramétricas da reta tangente à curva no ponto obtido no item anterior.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas , e . O exercício pede duas coisas:
a) Encontrar as coordenadas de um ponto onde essa curva intercepta um certo plano chamado "plano ".
b) Determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva nesse ponto que encontramos no item anterior.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre interseção de curvas com planos e calcular a reta tangente usando derivadas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte a: Encontrar o ponto de interseção com o plano
Primeiro, precisamos entender qual é o plano . Parece que há um pequeno erro de digitação, mas vamos supor que o plano seja definido pela equação , onde é uma constante. Se não for esse o caso, você pode ajustar a solução conforme o plano correto.
Para encontrar onde a curva intercepta o plano , vamos igualar a equação paramétrica de a :
Resolvendo para :
Agora que temos o valor de , podemos encontrar as coordenadas e correspondentes substituindo esse valor nas equações paramétricas de e :
Então, as coordenadas do ponto são:
Passo 3
Parte b: Determinar as equações paramétricas da reta tangente [\gamma) à curva no ponto
Para encontrar a reta tangente à curva no ponto , precisamos calcular o vetor tangente à curva em . Isso é feito calculando as derivadas das equações paramétricas em relação a e avaliando em .
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos :
O vetor tangente é, então:
Com o ponto e o vetor tangente , as equações paramétricas da reta tangente são: