- a. Determine uma função potencial para o campo gradiente
b. Calcule
, se
é a curva descrita por
.
Passo 1
O enunciado pede que
a) encontremos uma função potencial tal que
, e
b) calculemos para a curva
.
Como é um campo gradiente, basta achar
e usar o Teorema Fundamental das integrais de linha:
a) encontremos uma função potencial
b) calculemos
Como
Passo 2
Para achar
, integramos a primeira componente
em relação a
:
Passo 3
Derivando essa expressão em relação a
e igualando à segunda componente
, obtemos
logo
, o que dá
Passo 4
Agora derivamos em
e igualamos à terceira componente
:
logo
e
. Tomando
, fica
Passo 5
Para a parte b), pelo Teorema Fundamental,
onde
,
.
Passo 6
Calculamos os pontos:
Passo 7
Avalia-se
em
:
e em
:
Passo 8
A integral fica
Resposta
a)
b)
b)