1. a. Determine uma função potencial para o campo gradiente
& F(x, y, z)=(-4 x e^3 y+z e^x z) i+ & +(-6 x^2 e^3 y+4 y^2) j+(x e^x z+cos z) k
b. Calcule integralC F cdot d r, se C é a curva descrita por
gamma(t)=(t-1)(t-2) i+t j+pi2 t^5 k,
com 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede que
a) encontremos uma função potencial phi tal que nablaphi=vec F, e
b) calculemos integralCvec Fcdot dvec r para a curva C.
Como vec F é um campo gradiente, basta achar phi e usar o Teorema Fundamental das integrais de linha:
integralCvec Fcdot dvec r=phil(ponto finalr)-phil(ponto inicialr)

Passo 2

Para achar phi, integramos a primeira componente
P(x,y,z)=-4x e^3y+z e^xz em relação a x:
phi(x,y,z)=integral P,dx =-2x^2 e^3y+e^xz+g(y,z)

Passo 3

Derivando essa expressão em relação a y e igualando à segunda componente
Q(x,y,z)=-6x^2 e^3y+4y^2, obtemos
partial phipartial y =-6x^2 e^3y+partial gpartial y ;=;-6x^2 e^3y+4y^2,
logo partial g/partial y=4y^2, o que dá
g(y,z)=tfrac43y^3+h(z)

Passo 4

Agora derivamos em z e igualamos à terceira componente
R(x,y,z)=x e^xz+cos z:
partial phipartial z =x e^xz+h'(z) ;=;x e^xz+cos z,
logo h'(z)=cos z e h(z)=sin z+C. Tomando C=0, fica
phi(x,y,z) =-2x^2 e^3y+e^xz+tfrac43y^3+sin z

Passo 5

Para a parte b), pelo Teorema Fundamental,
integralCvec Fcdot dvec r =phil(r(1)r)-phil(r(0)r),
onde
r(t)=l((t-1)(t-2),,t,,tfracpi2t^5r), 0<= t<=1.

Passo 6

Calculamos os pontos:
r(0)=l(2,,0,,0r), r(1)=l(0,,1,,tfracpi2r)

Passo 7

Avalia-se phi em r(1):
phil(0,1,tfracpi2r) = -2cdot0^2 e^3cdot1 +e^0cdotpi2 +tfrac43,1^3 +sinl(tfracpi2r) =1+tfrac43+1 =tfrac103,
e em r(0):
phi(2,0,0) =-2cdot2^2 e^0 +e^0 +tfrac43,0^3 +sin0 =-8+1 =-7

Passo 8

A integral fica
integralCvec Fcdot dvec r =tfrac103-(-7) =tfrac313

Resposta

a) phi(x,y,z)=-2x^2 e^3y+e^xz+tfrac43y^3+sin z
b) integralCvec Fcdot dvec r=tfrac313

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