- Seja
definido ao longo do arco em que
, indo de
até
e de uma reta que vai de
até
. Calcule a integral
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
onde
é o caminho formado por duas partes concatenadas: (1) o arco do círculo
que vai de
até
(presumivelmente no sentido anti-horário) e (2) a reta que vai de
até
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é
, que é multivalorada por causa do logaritmo complexo e tem singularidade (ponto de ramificação) em (pois aí ). - O caminho passa por
(é o ponto final do arco e o ponto inicial da reta). Isso exige cuidado com definição de ramo do log e com o tratamento do ponto (integrável como limite). - As extremidades da curva completa são
(início) e (fim). O enunciado pede a integral ao longo de inteiro (arco + reta).
Passo 2
Estratégia de cálculo (intuição e justificativa das ferramentas): procurar uma primitiva (antiderivada) de
em domínios onde o log é bem definido e contínuo. Se
em um domínio que contém cada parte do caminho (exceto possivelmente o ponto
isolado), então a integral sobre cada parte é
. Depois tratamos o ponto
por limite.
Procuro
. Calculo a derivada de
:
pois aqui usei a regra do produto e
. Assim, se eu definir
então
Portanto
é uma primitiva de
em qualquer domínio onde um ramo contínuo de
esteja bem definido (ou seja, qualquer domínio simplesmente conexo que não contenha
e onde tenha sido escolhido um ramo do log).
Passo 3
Justificativa de que podemos usar
mesmo com o caminho passando por
.
- O ponto
é singular para , mas a primitiva tem um limite finito quando . De fato, como , precisamos ver . Sabe-se (e pode ser mostrado facilmente usando ) que
porque
e
quando
. Logo
e portanto
- Isso mostra que
estende-se continuamente até com valor . Por isso podemos calcular a integral ao longo de dividindo em duas partes (arco e reta), usar como primitiva em cada parte (com um ramo de contínuo em cada uma), e juntar os resultados tomando os limites na junção . O termo anula qualquer descontinuidade de ramo em porque é multiplicado por .
Conclusão: a integral ao longo de
vale
onde
. (Usamos que o valor limite de
em
é
, de modo que as contribuições das duas subcurvas se somam corretamente.)
Passo 4
Calcular explicitamente
e
. Primeiro escrevo
Isto é
Agora preciso dos valores dos logaritmos nos pontos
e
. Vou usar o ramo principal do log (argumento em
), o que é natural e contínuo nas partes do caminho que não contêm
, e suficiente porque o resultado final não depende da escolha de ramo (qualquer diferença de ramo seria um múltiplo de
multiplicado por
quando aproximando
, e esse termo nula ao ir a
).
- Para
: tem módulo e argumento . Logo
- Para
: tem módulo e argumento (no ramo principal). Logo
Passo 5
Efetuar as multiplicações e simplificar.
Defina
,
e
. Assim
Calculo
e
Substituindo em
obtemos (subtraindo as partes reais e imaginárias separadamente)
Agora recoloque
:
,
,
. Assim
Portanto a parte real é
e a parte imaginária é