1. Seja C definido ao longo do arco em que |z|=1, indo de z=1 até z=i e de uma reta que vai de z=i até z=-1. Calcule a integral \int_{C} \ln (z-i) d z.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{C} \ln(z-i)\,dz,
onde C é o caminho formado por duas partes concatenadas: (1) o arco do círculo |z|=1 que vai de z=1 até z=i (presumivelmente no sentido anti-horário) e (2) a reta que vai de z=i até z=-1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é \ln(z-i), que é multivalorada por causa do logaritmo complexo e tem singularidade (ponto de ramificação) em z=i (pois aí z-i=0).
  • O caminho passa por z=i (é o ponto final do arco e o ponto inicial da reta). Isso exige cuidado com definição de ramo do log e com o tratamento do ponto z=i (integrável como limite).
  • As extremidades da curva completa são z=1 (início) e z=-1 (fim). O enunciado pede a integral ao longo de C inteiro (arco + reta).

Passo 2

Estratégia de cálculo (intuição e justificativa das ferramentas): procurar uma primitiva (antiderivada) de \ln(z-i) em domínios onde o log é bem definido e contínuo. Se F'(z)=\ln(z-i) em um domínio que contém cada parte do caminho (exceto possivelmente o ponto z=i isolado), então a integral sobre cada parte é F(\text{fim})-F(\text{início})í. Depois tratamos o ponto z=i por limite.
Procuro F(z). Calculo a derivada de (z-i)\ln(z-i):
\frac{d}{dz}\bigl[(z-i)\ln(z-i)\bigr] = \ln(z-i) + 1,
pois aqui usei a regra do produto e \frac{d}{dz}\ln(z-i)=\frac{1}{z-i}. Assim, se eu definir
F(z) = (z-i)\ln(z-i) - z,
então
F'(z) = \ln(z-i) + 1 - 1 = \ln(z-i).
Portanto F é uma primitiva de \ln(z-i) em qualquer domínio onde um ramo contínuo de \ln(z-i) esteja bem definido (ou seja, qualquer domínio simplesmente conexo que não contenha z=i e onde tenha sido escolhido um ramo do log).

Passo 3

Justificativa de que podemos usar F mesmo com o caminho passando por z=i.
  • O ponto z=i é singular para \ln(z-i), mas a primitiva F(z)=(z-i)\ln(z-i)-z tem um limite finito quando z\to i. De fato, como w=z-i, precisamos ver \lim_{w\to0} w\ln w. Sabe-se (e pode ser mostrado facilmente usando w=re^{i\theta}) que
\lim_{w\to0} w\ln w = 0,
porque |w\ln w| = |w|\,|\ln|w| + i\arg w|\le |w|(|\ln|w||+|\arg w|) e |w|\ln|w|\to0 quando |w|\to0. Logo
\lim_{z\to i} (z-i)\ln(z-i) = 0,
e portanto
\lim_{z\to i} F(z) = \lim_{z\to i}\bigl((z-i)\ln(z-i)-z\bigr) = -i.
  • Isso mostra que F estende-se continuamente até z=i com valor -i. Por isso podemos calcular a integral ao longo de C dividindo C em duas partes (arco e reta), usar F como primitiva em cada parte (com um ramo de \ln contínuo em cada uma), e juntar os resultados tomando os limites na junção z\to i. O termo (z-i)\ln(z-i) anula qualquer descontinuidade de ramo em z=i porque é multiplicado por z-i\to0.
Conclusão: a integral ao longo de C vale
\int_{C}\ln(z-i)\,dz = F(-1)-F(1),
onde F(z)=(z-i)\ln(z-i)-z. (Usamos que o valor limite de F em z=i é -i, de modo que as contribuições das duas subcurvas se somam corretamente.)

Passo 4

Calcular explicitamente F(-1) e F(1). Primeiro escrevo
\int_{C}\ln(z-i)\,dz = \bigl(({-1}-i)\ln(-1-i)-(-1)\bigr) - \bigl((1-i)\ln(1-i)-1\bigr).
Isto é
\int_{C}\ln(z-i)\,dz = (-1-i)\ln(-1-i) - (1-i)\ln(1-i) + 2.
Agora preciso dos valores dos logaritmos nos pontos z=1 e z=-1. Vou usar o ramo principal do log (argumento em (-\pi,\pi]), o que é natural e contínuo nas partes do caminho que não contêm z=i, e suficiente porque o resultado final não depende da escolha de ramo (qualquer diferença de ramo seria um múltiplo de 2\pi i multiplicado por z-i quando aproximando i, e esse termo nula ao ir a i).
  • Para z=1: 1-i tem módulo \sqrt{2} e argumento -\pi/4. Logo
\ln(1-i)=\tfrac{1}{2}\ln 2 - i\tfrac{\pi}{4}.
  • Para z=-1: -1-i tem módulo \sqrt{2} e argumento -3\pi/4 (no ramo principal). Logo
\ln(-1-i)=\tfrac{1}{2}\ln 2 - i\tfrac{3\pi}{4}.

Passo 5

Efetuar as multiplicações e simplificar.
Defina a=\tfrac{1}{2}\ln 2, c=\tfrac{\pi}{4} e b=\tfrac{3\pi}{4}. Assim
\ln(1-i)=a - i c,\qquad \ln(-1-i)=a - i b.
Calculo
(-1-i)\ln(-1-i)=(-1-i)(a - i b) = (-a-b) + i(b-a),
e
(1-i)\ln(1-i)=(1-i)(a - i c) = (a-c) - i(a+c).
Substituindo em
(-1-i)\ln(-1-i) - (1-i)\ln(1-i) + 2,
obtemos (subtraindo as partes reais e imaginárias separadamente)
\begin{aligned} \text{parte real}&=(-a-b) - (a-c) + 2 = -2a - b + c + 2,\\\ \text{parte imaginária}&=(b-a) - (-(a+c)) = b + c. \end{aligned}á
Agora recoloque a,c,b: a=\tfrac{1}{2}\ln2, b=\tfrac{3\pi}{4}, c=\tfrac{\pi}{4}. Assim
-2a = -\ln 2,\qquad -b+c = -\tfrac{3\pi}{4} + \tfrac{\pi}{4} = -\tfrac{\pi}{2},\qquad b+c = \tfrac{3\pi}{4} + \tfrac{\pi}{4} = \pi.
Portanto a parte real é
- \ln 2 - \tfrac{\pi}{2} + 2 = 2 - \ln 2 - \tfrac{\pi}{2},
e a parte imaginária é
\pi.

Resposta

\int_{C}\ln(z-i)\,dz = 2 - \ln 2 - \tfrac{\pi}{2} + i\pi

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