Identifique o conjunto Imagem da função
para os dominios especificados
Passo 1
O enunciado pede: identificar a imagem da função
quando o domínio é o conjunto dos pontos complexos com
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Domínio:
(circunferência de raio centrada na origem). - Função:
. Não foi especificado se é a logaritmo multivalorado ou a ramo principal; portanto, vou tratar as duas interpretações (explicando a diferença).
Passo 2
Definição e ideia básica (aulas curtas e claras). Para
escreve-se em forma polar
onde
e
é um argumento de
. O logaritmo complexo é dado por
onde
. Explicando as partes:
-
é o logaritmo natural do módulo e é o componente real de . -
é um argumento (ângulo) de ; por isso aparece a ambiguidade (o argumento é definido módulo ), o que torna multivalorado.
Exemplo rápido: seentão
Passo 3
Aplicando ao caso
. Para qualquer
da circunferência temos
, logo
é fixo. Assim, usando a fórmula do passo anterior:
com
variando conforme a posição de
na circunferência e
. Observações importantes:
- Se permitir todos os
e todos os (isto é, usar o logaritmo multivalorado), então o termo percorre todo o conjunto . Portanto a parte imaginária pode ser qualquer número real. - Geometricamente, isso significa que a imagem é a reta vertical cujo valor real é
.
Escrevendo em notação de conjunto:
Passo 4
Caso do ramo principal (quando a questão implicar em
com argumento principal). Se for a definição de ramo principal com
(ou outro intervalo de comprimento
), então só se toma
ou seja, a imagem é um segmento vertical de comprimento
(fechado/aberto nas extremidades conforme o intervalo escolhido para
). Em notação:
Passo 5
Checagem com pontos específicos (sanidade):
- Para
(ponto na circunferência com ) tem-se . - Para
(com ) tem-se . Ambos estão na reta (ou no segmento do ramo principal se for o caso).