Identifique o conjunto Imagem da função f(z)=\log (z) para os dominios especificados
|z|=4

Passo 1

O enunciado pede: identificar a imagem da função f(z)=\log(z) quando o domínio é o conjunto dos pontos complexos com |z|=4.
Informações dadas:
  • Domínio: \{z\in\mathbb{C} \mid |z|=4\} (circunferência de raio 4 centrada na origem).
  • Função: f(z)=\log(z). Não foi especificado se é a logaritmo multivalorado ou a ramo principal; portanto, vou tratar as duas interpretações (explicando a diferença).

Passo 2

Definição e ideia básica (aulas curtas e claras). Para z\neq0 escreve-se em forma polar
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|>0 e \theta é um argumento de z. O logaritmo complexo é dado por
\log(z)=\ln r + i(\theta + 2\pi k),
onde k\in\mathbb{Z}. Explicando as partes:
  • \ln r é o logaritmo natural do módulo r e é o componente real de \log(z).
  • \theta é um argumento (ângulo) de z; por isso aparece a ambiguidade \theta+2\pi k (o argumento é definido módulo 2\pi), o que torna \log multivalorado.
    Exemplo rápido: se z=4e^{i\pi/3} então
\log(z)=\ln 4 + i\!\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Aplicando ao caso |z|=4. Para qualquer z da circunferência temos r=4, logo \ln r=\ln 4 é fixo. Assim, usando a fórmula do passo anterior:
\log(z)=\ln 4 + i(\theta + 2\pi k),
com \theta variando conforme a posição de z na circunferência e k\in\mathbb{Z}. Observações importantes:
  • Se permitir todos os k\in\mathbb{Z} e todos os \theta (isto é, usar o logaritmo multivalorado), então o termo \theta+2\pi k percorre todo o conjunto \mathbb{R}. Portanto a parte imaginária pode ser qualquer número real.
  • Geometricamente, isso significa que a imagem é a reta vertical cujo valor real é \ln 4.
Escrevendo em notação de conjunto:
\{\log(z):|z|=4\}=\{\ln 4 + i t \mid t\in\mathbb{R}\}=\{w\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Re}(w)=\ln 4\}.

Passo 4

Caso do ramo principal (quando a questão implicar em \operatorname{Log} com argumento principal). Se for a definição de ramo principal com \Arg z\in(-\pi,\pi] (ou outro intervalo de comprimento 2\pi), então só se toma
\operatorname{Log}(z)=\ln 4 + i\theta,\qquad \theta\in(-\pi,\pi],
ou seja, a imagem é um segmento vertical de comprimento 2\pi (fechado/aberto nas extremidades conforme o intervalo escolhido para \Arg). Em notação:
\{\operatorname{Log}(z):|z|=4\}=\{\ln 4 + i\theta \mid \theta\in(-\pi,\pi]\}.

Passo 5

Checagem com pontos específicos (sanidade):
  • Para z=4 (ponto na circunferência com \theta=0) tem-se \log(4)=\ln 4 + i(0+2\pi k).
  • Para z=-4 (com \theta=\pi) tem-se \log(-4)=\ln 4 + i(\pi+2\pi k). Ambos estão na reta \operatorname{Re}(w)=\ln 4 (ou no segmento do ramo principal se for o caso).

Resposta

\{\ln 4 + i t \mid t\in\mathbb{R}\} (para o logaritmo multivalorado)
\{\ln 4 + i\theta \mid \theta\in(-\pi,\pi]\} (para o ramo principal \operatorname{Log}, se for esse o caso)

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