Seja o campo de velocidades bidimensional dado por:
\vec{V}(x, y)=(0,5+x-0,5 y) \hat{\mathrm{i}}+(-0,5-x+0,5 y) \hat{\mathrm{j}} .
(a) Esse campo de velocidades está em regime permanente ou transiente? Justifique.
(b) Calcule o rotacional \vec{\xi}=\vec{\nabla} \times \vec{V} desse campo.
(c) Quais as coordenadas do(s) ponto(s) de estagnação desse campo?
(d) Determine o campo de aceleração desse escoamento.
(e) Represente graficamente esse campo para x \in[-2,2] e y \in[0,2].

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidades bidimensional
\vec{V}(x,y) = (0,5 + x - 0,5\,y)\,\hat{\mathrm{i}} + (-0,5 - x + 0,5\,y)\,\hat{\mathrm{j}}.
As perguntas são:
(a) Esse campo está em regime permanente ou transiente? Justifique.
(b) Calcule o rotacional \vec{\xi}=\vec{\nabla}\times\vec{V}.
(c) Quais as coordenadas do(s) ponto(s) de estagnação desse campo?
(d) Determine o campo de aceleração desse escoamento.
(e) Represente graficamente esse campo para x\in[-2,2] e y\in[0,2].
Informações relevantes dadas:
  • O campo é explicitamente função apenas de x e y; não aparece t no enunciado.
  • Componentes do campo (denotando u= componente x e v= componente y): u(x,y)=0,5 + x - 0,5\,y,\qquad v(x,y)=-0,5 - x + 0,5\,y.
  • O domínio pedido para a representação gráfica é x\in[-2,2] e y\in[0,2].

Passo 2

(a) Explicação e justificativa sobre regime permanente vs transiente.
  • Conceito rápido: um escoamento é permanente (ou estacionário) se as parcelas de velocidade não dependem do tempo, ou seja se \partial\vec{V}/\partial t = \vec{0}. É transiente (não estacionário) se há dependência explícita em t.
  • Observação dos dados: a expressão de \vec{V} depende somente de x e y — não há t na fórmula.
  • Conclusão: portanto \partial\vec{V}/\partial t = \vec{0} e o escoamento é em regime permanente.
Comentário didático curto: na prova, sempre cheque se aparece t nas componentes; se não aparecer, diga imediatamente que é permanente e justifique com \partial\vec{V}/\partial t=0.

Passo 3

(b) Cálculo do rotacional \vec{\xi}=\vec{\nabla}\times\vec{V}.
  • Definição em 3D (útil mesmo para campo 2D): se \vec{V}=(V_x,V_y,V_z) então \vec{\nabla}\times\vec{V} = \left(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{i}} + \left(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{j}} + \left(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{k}}.
  • Para um campo bidimensional com V_z=0 (caso aqui), só resta a componente z: \vec{\xi} = \left(0,0,\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right).
  • Identificar V_x e V_y: V_x = u(x,y)=0,5 + x - 0,5\,y,\qquad V_y = v(x,y)=-0,5 - x + 0,5\,y.
  • Calcular parciais: \frac{\partial V_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(0,5 + x - 0,5\,y) = -0,5,
\frac{\partial V_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-0,5 - x + 0,5\,y) = -1.
  • Portanto a componente z do rotacional é \frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y} = -1 - (-0,5) = -0,5.
  • Conclusão: \vec{\xi} = -0,5\,\hat{\mathbf{k}}.
Interpretação curta: o rotacional é constante e não nulo, logo o escoamento é rotacional com vorticidade uniforme -0,5 na direção negativa z.

Passo 4

(c) Pontos de estagnação (onde a velocidade é nula).
  • Definição: pontos de estagnação são (x,y) tais que \vec{V}(x,y)=\vec{0}, isto é u(x,y)=0 e v(x,y)=0 simultaneamente.
  • Escrever as duas equações: 0,5 + x - 0,5\,y = 0, \tag{1}
-0,5 - x + 0,5\,y = 0. \tag{2}
  • Observação importante: a equação (2) é exatamente -1 vezes a equação (1). Portanto as duas equações são dependentes: há uma única relação independente.
  • Resolver (1) para x: x = -0,5 + 0,5\,y = \tfrac{1}{2}(y-1).
  • Conclusão: não há apenas pontos isolados; os pontos de estagnação formam a reta \{(x,y)\mid x = \tfrac{1}{2}(y-1)\}.
  • Nota prática: dentro do domínio de desenho x\in[-2,2],\,y\in[0,2] essa reta intercepta os pontos com y\in[0,2] e x\in[-0,5,0,5]. Ou seja, há um segmento de reta de estagnação dentro desse retângulo.
Verificação útil (para prova): substitua x=\tfrac{1}{2}(y-1) em u e v e confirme que ambos ficam zero.

Passo 5

(d) Determinar o campo de aceleração do escoamento.
  • Conceito (material derivative): a aceleração de uma partícula fluida é dada pela derivada material \vec{a} = \frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{\partial\vec{V}}{\partial t} + (\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V}.Aqui \frac{\partial\vec{V}}{\partial t} é a variação local no tempo e (\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V} é o termo convectivo responsável pela mudança de velocidade ao longo do percurso da partícula.
  • Como o escoamento é permanente (Passo 2), temos \partial\vec{V}/\partial t=\vec{0}. Assim \vec{a} = (\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V}.
  • Em componentes (2D): a_x = u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y},\qquad a_y = u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}.
  • Já temos u=0,5 + x - 0,5\,y e v=-0,5 - x + 0,5\,y. Calcular as derivadas parciais: \frac{\partial u}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-0,5,
\frac{\partial v}{\partial x}=-1,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=0,5.
  • Calcular a_x: a_x = u\cdot 1 + v\cdot(-0,5) = u - 0,5\,v.Substituindo u e v: a_x = (0,5 + x - 0,5\,y) - 0,5(-0,5 - x + 0,5\,y).Calcular o segundo termo: -0,5(-0,5 - x + 0,5\,y) = 0,25 + 0,5\,x - 0,25\,y.
    Somando: a_x = 0,5 + x - 0,5\,y + 0,25 + 0,5\,x - 0,25\,y = 0,75 + 1,5\,x - 0,75\,y.
  • Calcular a_y: a_y = u\cdot(-1) + v\cdot 0,5 = -u + 0,5\,v.Substituindo: a_y = -(0,5 + x - 0,5\,y) + 0,5(-0,5 - x + 0,5\,y).Calcular o segundo termo: 0,5(-0,5 - x + 0,5\,y) = -0,25 -0,5\,x +0,25\,y.
    Somando: a_y = -0,5 - x + 0,5\,y -0,25 -0,5\,x +0,25\,y = -0,75 -1,5\,x +0,75\,y.
  • Observação elegante: a_y = -a_x, ou seja a aceleração tem componente y oposta à componente x.
  • Escrever o campo de aceleração vetorialmente: \vec{a}(x,y) = \bigl(0,75 + 1,5\,x - 0,75\,y\bigr)\,\hat{\mathrm{i}} + \bigl(-0,75 -1,5\,x + 0,75\,y\bigr)\,\hat{\mathrm{j}}.Ou em frações: \vec{a}(x,y) = \left(\tfrac{3}{4} + \tfrac{3}{2}x - \tfrac{3}{4}y\right)\hat{\mathrm{i}} + \left(-\tfrac{3}{4} - \tfrac{3}{2}x + \tfrac{3}{4}y\right)\hat{\mathrm{j}}.
Verificação (checagem útil): em qualquer ponto de estagnação x=\tfrac{1}{2}(y-1) substitua na expressão de a_x:
a_x = 0,75 + 1,5\left(\tfrac{1}{2}(y-1)\right) -0,75y = 0,75 +0,75y -0,75 -0,75y = 0,
logo a_x=0 e então a_y=0. Assim os pontos de estagnação têm também aceleração zero — boa consistência física.

Passo 6

(e) Representação gráfica na janela x\in[-2,2],\,y\in[0,2].
Vou dar instruções práticas para gerar um gráfico de campo de velocidades (vetor) e um gráfico de linhas de corrente; também dou um código em Python/Matplotlib que pode ser usado na prova se for permitido ou no seu estudo para visualizar.
  • Ideia: para cada ponto da grade (x_i,y_j) calcular u(x_i,y_j) e v(x_i,y_j) e desenhar setas (quiver) ou linhas de corrente (streamplot). Marcar também a reta de estagnação x=\tfrac{1}{2}(y-1).
  • Recomendo usar uma grade razoável (por exemplo 21×21 pontos) para visualizar bem.
Exemplo de código em Python (requere matplotlib e numpy). Basta copiar, colar e executar num notebook ou script Python:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# domínio
x = np.linspace(-2, 2, 21)
y = np.linspace(0, 2, 21)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# componentes do campo
U = 0.5 + X - 0.5*Y
V = -0.5 - X + 0.5*Y

# figura
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.quiver(X, Y, U, V, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='tab:blue')
plt.xlabel('x'); plt.ylabel('y'); plt.title('Campo de velocidades')

# reta de estagnação x = 0.5*(y-1)
ys = np.linspace(0,2,100)
xs = 0.5*(ys-1)
plt.plot(xs, ys, 'r--', linewidth=2, label='reta de estagnação')

# ajustar e mostrar
plt.xlim(-2,2); plt.ylim(0,2)
plt.gca().set_aspect('equal', 'box')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Dicas para interpretação do gráfico:
  • As setas apontam a direção e sentido do vetor velocidade em cada ponto.
  • A reta tracejada vermelha será o local onde as setas têm magnitude zero (estagnação).
  • Como o rotacional é constante negativo, espera-se uma “tendência de rotação” sensível ao sentido (no sentido horário se vorticidade negativa, dependendo da convenção).
Se preferir visualizar linhas de corrente ao invés de setas, substitua a parte do quiver por:
speed = np.sqrt(U**2 + V**2)
plt.streamplot(X, Y, U, V, density=1.5, color=speed, cmap='viridis')
plt.colorbar(label='velocidade')

Resposta

(a) Permanente (regime estacionário), pois \partial\vec{V}/\partial t=\vec{0}.
(b) \displaystyle \vec{\xi} = -\tfrac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}.
(c) Pontos de estagnação formam a reta \displaystyle x=\tfrac{1}{2}(y-1) (todos os y).
(d) \displaystyle \vec{a}(x,y)=\left(\tfrac{3}{4}+\tfrac{3}{2}x-\tfrac{3}{4}y\right)\hat{\mathrm{i}}+\left(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{3}{4}y\right)\hat{\mathrm{j}}.
(e) Gráfico: use um quiver/streamplot no retângulo x\in[-2,2],\\ y\in[0,2] (código de plot sugerido no Passo 6).

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