Problema 07

Dois temopares esféricos são instalados no cilindro de um compressor de ar: um termopar grande ( 1,0 \mathrm{~mm} diâmetro) e um termopar pequeno ( 0,1 \mathrm{~mm} de diâmetro). O material dos termopares tem as seguintes propriedades \rho_{\mathrm{tc}}=8920 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{c}_{\mathrm{tc}}=385 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e \mathrm{k}_{\mathrm{tc}}=100 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}. O diâmetro do pistão do compressor é 0,05 \mathrm{~m} e realiza 600 ciclos/min, o caminho (stroke) do pistão é 0,05 \mathrm{~m}. Como primeira aproximação podemos utilizar as propriedades do ar a 300 K .
a) Assumindo que os termopares podem ser analisados aplicando o método da capacitância global, determinar a constante de tempo de cada um deles.
b) Assumindo que a temperatura do ar dentro do pistão varia senoidalmente, com a mesma frequência que o compressor, obter uma solução aplicando o método da capacitância global.
c) Justifique o uso do método da capacitância global para modelas os termopares.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo com as unidades e valores numéricos que preciso usar):
  • Dois termopares esféricos: diâmetro do termopar grande d_G = 1{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}001\\ \mathrm{m} e diâmetro do termopar pequeno d_p = 0{,}1\\ \mathrm{mm}=0{,}0001\\ \mathrm{m}.
  • Propriedades do material dos termopares:
    • massa volumétrica \rho_{\mathrm{tc}}=8920\\ \mathrm{kg/m^{3}},
    • capacidade térmica específica c_{\mathrm{tc}}=385\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
    • condutividade térmica k_{\mathrm{tc}}=100\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Compressor:
    • diâmetro do pistão D=0{,}05\\ \mathrm{m} (não usado diretamente para os cálculos dos termopares, mas informado),
    • frequência de operação 600\\ \mathrm{ciclos/min}=10\\ \mathrm{Hz},
    • curso (stroke) do pistão S=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Pode-se usar propriedades do ar em 300\\ \mathrm{K}. Vou adotar os valores típicos a 300\\ \mathrm{K}:
    • densidade \rho_{\mathrm{ar}}=1{,}177\\ \mathrm{kg/m^{3}},
    • viscosidade dinâmica \mu=1{,}846\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
    • condutividade térmica k_{\mathrm{ar}}=0{,}0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
    • capacidade térmica c_{p,\mathrm{ar}}=1007\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar a constante de tempo de cada termopar usando o método da capacitância global (lumped capacitance);
    (b) presumindo que a temperatura do ar dentro do pistão varia senoidalmente com a mesma frequência do compressor, obter a solução (temporal) aplicando o método da capacitância global;
    (c) justificar o uso do método da capacitância global para modelar os termopares.

Passo 2

Vou estimar a velocidade característica do ar que provoca convecção nos termopares devido ao movimento do pistão. Se o movimento do pistão é aproximadamente senoidal com amplitude A = S/2, então a velocidade máxima do pistão é
v_{\max} = A\cdot 2\pi f.
Substituindo A=0{,}025\\ \mathrm{m} e f=10\\ \mathrm{Hz}:
v_{\max} = 0{,}025\cdot 2\pi\cdot 10 \approx 1{,}57\\ \mathrm{m/s}.
Vou usar v \approx 1{,}57\\ \mathrm{m/s} como velocidade característica para estimar o coeficiente convectivo h. Esta escolha é razoável como primeira aproximação: o ar dentro do cilindro é movimentado pelo pistão e essa ordem de grandeza dá uma estimativa do escoamento relativo sobre as esferas.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds de cada esfera para escolher uma correlação de convecção apropriada. A definição:
\mathrm{Re} = \frac{\rho_{\mathrm{ar}}\, v\, d}{\mu}.
Para a esfera grande ( d_G=0{,}001\\ \mathrm{m}):
\mathrm{Re}_G = \frac{1{,}177\cdot 1{,}57\cdot 0{,}001}{1{,}846\times10^{-5}} \approx 100\\ (\text{aprox.}).
Para a esfera pequena ( d_p=0{,}0001\\ \mathrm{m}):
\mathrm{Re}_p = \frac{1{,}177\cdot 1{,}57\cdot 0{,}0001}{1{,}846\times10^{-5}} \approx 10\\ (\text{aprox.}).
O número de Prandtl do ar é
\mathrm{Pr} = \frac{\mu c_{p,\mathrm{ar}}}{k_{\mathrm{ar}}} \approx \frac{1{,}846\times10^{-5}\cdot 1007}{0{,}0263}\approx 0{,}71.

Passo 4

Escolher uma correlação de Nusselt adequada. Para partículas/esferas em escoamento de baixa/moderada Re uma correlação simples e razoável é a de Ranz–Marshall:
\mathrm{Nu} = 2 + 0{,}6\,\mathrm{Re}^{1/2}\mathrm{Pr}^{1/3}.
Calculo para cada esfera.
Para a esfera grande ( \mathrm{Re}_G\approx100):
\mathrm{Nu}_G \approx 2 + 0{,}6\cdot 100^{1/2}\cdot 0{,}71^{1/3}.
Calculando: 100^{1/2}=10, 0{,}71^{1/3}\approx 0{,}891. Então
\mathrm{Nu}_G \approx 2 + 0{,}6\cdot 10\cdot 0{,}891 \approx 7{,}346.
O coeficiente de convecção h é
h = \frac{\mathrm{Nu}\, k_{\mathrm{ar}}}{d}.
Logo para a esfera grande:
h_G \approx \frac{7{,}346\cdot 0{,}0263}{0{,}001} \approx 193{,}4\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Para a esfera pequena ( \mathrm{Re}_p\approx10):
\mathrm{Nu}_p \approx 2 + 0{,}6\cdot 10^{1/2}\cdot 0{,}71^{1/3}.
Aqui 10^{1/2}\approx 3{,}162. Então
\mathrm{Nu}_p \approx 2 + 0{,}6\cdot 3{,}162\cdot 0{,}891 \approx 3{,}693.
E
h_p \approx \frac{3{,}693\cdot 0{,}0263}{0{,}0001} \approx 971{,}0\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Observação didática rápida: pequenas partículas apresentam áreas de troca muito pequenas, o que faz h dividido por d resultar em valores de h efetivos maiores; é esperado que termopares muito finos troquem calor relativamente rápido.

Passo 5

Derivar a expressão da constante de tempo usando o método da capacitância global (modelo lumped). Para um corpo homogêneo com volume V, área de superfície A, massa volumétrica \rho e capacidade térmica c, e coeficiente convectivo h, a equação de energia no modelo lumped é
\rho V c\,\frac{dT}{dt} = h A \bigl(T_{\infty}(t)-T(t)\bigr).
A constante de tempo característica \tau (quando T_{\infty} é constante) é
\tau = \frac{\rho V c}{h A}.
Para uma esfera o volume e a área são V = \dfrac{\pi}{6} d^{3} e A = \pi d^{2}. Substituindo-se,
\tau = \frac{\rho c \, d}{6 h}.
Esta fórmula é muito prática: \tau escala linearmente com o diâmetro d e inversamente com h.
Agora calculo numericamente usando os dados do termopar ( \rho_{\mathrm{tc}}, c_{\mathrm{tc}}) e os h estimados.
Para a esfera grande:
\tau_G = \frac{8920\cdot 385\cdot 0{,}001}{6\cdot 193{,}4}.
Calculemos passo a passo:
8920\cdot 385 = 3\,434\,200, \qquad 3\,434\,200\cdot 0{,}001 = 3\,434{,}2.
Denominador 6\cdot 193{,}4 = 1\,160{,}4. Então
\tau_G \approx \frac{3\,434{,}2}{1\,160{,}4} \approx 2{,}96\\ \mathrm{s}.
Para a esfera pequena:
\tau_p = \frac{8920\cdot 385\cdot 0{,}0001}{6\cdot 971{,}0}.
Numerador =3\,434{,}2\cdot 0{,}0001 = 343{,}42. Denominador =5\,826. Então
\tau_p \approx \frac{343{,}42}{5\,826} \approx 0{,}059\\ \mathrm{s}.
Interpretação rápida: termopar pequeno responde muito mais rápido (ordem de décimos de segundo) enquanto o grande é lento (vários segundos).

Passo 6

Verificar a validade do método da capacitância global via número de Biot. O critério comum é \mathrm{Bi} = \dfrac{h L_c}{k_{\mathrm{tc}}} \ll 0{,}1, com L_c = V/A = d/6 para esfera. Assim
\mathrm{Bi} = \frac{h\, d}{6 k_{\mathrm{tc}}}.
Para a esfera grande:
\mathrm{Bi}_G = \frac{193{,}4\cdot 0{,}001}{6\cdot 100} \approx \frac{0{,}1934}{600} \approx 3{,}22\times 10^{-4}.
Para a esfera pequena:
\mathrm{Bi}_p = \frac{971{,}0\cdot 0{,}0001}{6\cdot 100} \approx \frac{0{,}0971}{600} \approx 1{,}62\times 10^{-4}.
Ambos são muito menores que 0{,}1, portanto a temperatura interna dos termopares é praticamente uniforme — condição que justifica o uso do modelo de capacitância global.

Passo 7

Resolver a equação lumped para o caso onde T_{\infty}(t) varia senoidalmente com a frequência do compressor. Escrevo o problema de forma geral:
\rho V c\,\frac{dT}{dt} = h A\bigl(T_{\infty}(t) - T(t)\bigr).
Defino \tau=\dfrac{\rho V c}{h A} (já derivado) e escrevo a equação em forma padrão:
\frac{dT}{dt} + \frac{1}{\tau}T = \frac{1}{\tau}T_{\infty}(t).
Agora suponho
T_{\infty}(t)=T_{m}+T_{a}\sin(\omega t), \qquad \omega = 2\pi f.
A solução geral é soma da solução do homogêneo (transiente) e de uma solução particular (regime permanente forçado). A solução do homogêneo é \propto e^{-t/\tau} e decai com o tempo. A solução particular (estado estacionário periódico) tem a forma sinusoidal com mesma frequência e com amplitude reduzida e fase atrasada:
Usando representação complexa ou método direto, chega-se à forma do regime periódico:
T_{\text{ss}}(t) = T_{m} + \frac{T_{a}}{\sqrt{1+(\omega\tau)^{2}}}\,\sin\bigl(\omega t - \varphi\bigr),
onde o ângulo de defasagem \varphi satisfaz
\varphi = \arctan(\omega\tau).
A amplitude de resposta é atenuada por um fator 1/\sqrt{1+(\omega\tau)^{2}} e há um atraso de fase \varphi (o sinal da defasagem é tal que a resposta atrasa o forçamento).
A solução completa, incluindo transiente, pode ser escrita (se for necessário o termo transitório):
T(t)=T_{m}+ e^{-t/\tau}\bigl(T(0)-T_{m}\bigr) + \frac{T_{a}}{\sqrt{1+(\omega\tau)^{2}}}\,\sin\bigl(\omega t - \varphi\bigr) - \frac{T_{a}}{\sqrt{1+(\omega\tau)^{2}}}\,\sin\bigl(-\varphi\bigr)\,e^{-t/\tau},
mas para a resposta periódica de interesse na parte (b) usa-se a expressão T_{\text{ss}}(t) acima.

Passo 8

Aplicar numericamente para cada termopar: frequência f=10\\ \mathrm{Hz}\Rightarrow \omega=2\pi\cdot 10\approx 62{,}832\\ \mathrm{rad/s}.
Calcular \omega\tau, fator de atenuação e defasagem para cada termopar.
Para o termopar grande ( \tau_G\approx 2{,}96\\ \mathrm{s}):
\omega\tau_G \approx 62{,}832\cdot 2{,}96 \approx 185{,}9.
A atenuação:
\frac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau_G)^{2}}}\approx \frac{1}{\sqrt{1+185{,}9^{2}}}\approx 0{,}00538.
A defasagem:
\varphi_G = \arctan(185{,}9)\approx 1{,}566\\ \mathrm{rad}\approx 89{,}7^\circ.
Portanto, no regime periódico:
T_{G}(t)\approx T_{m} + 0{,}00538\,T_{a}\,\sin\bigl(\omega t - 1{,}566\bigr).
Isto significa que o termopar grande praticamente não acompanha a oscilação rápida do ar: sua amplitude é reduzida a cerca de 0{,}5\% da amplitude do ar e está quase defasada de 90^\circ.
Para o termopar pequeno ( \tau_p\approx 0{,}059\\ \mathrm{s}):
\omega\tau_p \approx 62{,}832\cdot 0{,}059 \approx 3{,}702.
A atenuação:
\frac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau_p)^{2}}}\approx \frac{1}{\sqrt{1+3{,}702^{2}}}\approx 0{,}261.
A defasagem:
\varphi_p = \arctan(3{,}702)\approx 1{,}307\\ \mathrm{rad}\approx 74{,}9^\circ.
Logo, no regime periódico:
T_{p}(t)\approx T_{m} + 0{,}261\,T_{a}\,\sin\bigl(\omega t - 1{,}307\bigr).
Isto indica que o termopar pequeno segue parte da oscilação do ar (cerca de 26{,}1\% da amplitude) e sofre uma defasagem de aproximadamente 75^\circ.

Passo 9

Resumo justificativo do uso do método da capacitância global (parte c):
  • O critério clássico é \mathrm{Bi} = hL_c/k_{\mathrm{tc}}\ll 0{,}1. Calculamos \mathrm{Bi}_G\approx 3{,}22\times 10^{-4} e \mathrm{Bi}_p\approx 1{,}62\times 10^{-4}, muito menores que 0{,}1. Isso garante que a resistência térmica interna (condução dentro da esfera) é negligenciável frente à resistência convectiva de superfície, logo a temperatura da esfera é praticamente uniforme e o modelo lumped é válido.
  • Além disso o material dos termopares tem alta condutividade ( k_{\mathrm{tc}}=100\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}), o que reforça a uniformidade interna de temperatura.
  • Observação prática: embora o método lumped seja válido para descrever a uniformidade interna e obter \tau, a resposta temporal (rápida ou lenta) depende de \tau em relação ao período do forçamento. Aqui vimos que o termopar grande tem \tau muito maior que o período do ciclo ( T_{\text{ciclo}}=0{,}1\\ \mathrm{s}), por isso não segue as flutuações; o pequeno tem \tau da mesma ordem do período e responde parcialmente. Isso não contradiz o uso do modelo lumped — apenas descreve a dinâmica.

Resposta

(a) \tau_G \approx 2{,}96\\ \mathrm{s} (termopar grande) \newline
(a) \tau_p \approx 0{,}059\\ \mathrm{s} (termopar pequeno) \newline
(b) Para T_{\infty}(t)=T_{m}+T_{a}\sin(\omega t) com \omega=2\pi\cdot 10\\ \mathrm{rad/s}, as soluções no regime periódico são:\newline
T_{G}(t)\approx T_{m} + 0{,}00538\,T_{a}\,\sin\bigl(\omega t - 1{,}566\bigr) \newline
T_{p}(t)\approx T_{m} + 0{,}261\,T_{a}\,\sin\bigl(\omega t - 1{,}307\bigr) \newline
(c) O método da capacitância global é válido porque \mathrm{Bi}_G\approx 3{,}22\times10^{-4}\ll 0{,}1 e \mathrm{Bi}_p\approx 1{,}62\times10^{-4}\ll 0{,}1, ou seja, a temperatura interna de cada esfera é praticamente uniforme.

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