Problema 07
Dois temopares esféricos são instalados no cilindro de um compressor de ar: um termopar grande (
diâmetro) e um termopar pequeno (
de diâmetro). O material dos termopares tem as seguintes propriedades
e
. O diâmetro do pistão do compressor é
e realiza 600 ciclos/min, o caminho (stroke) do pistão é
. Como primeira aproximação podemos utilizar as propriedades do ar a 300 K .
a) Assumindo que os termopares podem ser analisados aplicando o método da capacitância global, determinar a constante de tempo de cada um deles.
b) Assumindo que a temperatura do ar dentro do pistão varia senoidalmente, com a mesma frequência que o compressor, obter uma solução aplicando o método da capacitância global.
c) Justifique o uso do método da capacitância global para modelas os termopares.
a) Assumindo que os termopares podem ser analisados aplicando o método da capacitância global, determinar a constante de tempo de cada um deles.
b) Assumindo que a temperatura do ar dentro do pistão varia senoidalmente, com a mesma frequência que o compressor, obter uma solução aplicando o método da capacitância global.
c) Justifique o uso do método da capacitância global para modelas os termopares.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo com as unidades e valores numéricos que preciso usar):
- Dois termopares esféricos: diâmetro do termopar grande
e diâmetro do termopar pequeno . - Propriedades do material dos termopares:
- massa volumétrica
, - capacidade térmica específica
, - condutividade térmica
.
- massa volumétrica
- Compressor:
- diâmetro do pistão
(não usado diretamente para os cálculos dos termopares, mas informado), - frequência de operação
, - curso (stroke) do pistão
.
- diâmetro do pistão
- Pode-se usar propriedades do ar em
. Vou adotar os valores típicos a : - densidade
, - viscosidade dinâmica
, - condutividade térmica
, - capacidade térmica
.
- densidade
- O enunciado pede:
(a) determinar a constante de tempo de cada termopar usando o método da capacitância global (lumped capacitance);
(b) presumindo que a temperatura do ar dentro do pistão varia senoidalmente com a mesma frequência do compressor, obter a solução (temporal) aplicando o método da capacitância global;
(c) justificar o uso do método da capacitância global para modelar os termopares.
Passo 2
Vou estimar a velocidade característica do ar que provoca convecção nos termopares devido ao movimento do pistão. Se o movimento do pistão é aproximadamente senoidal com amplitude
, então a velocidade máxima do pistão é
Substituindo
e
:
Vou usar
como velocidade característica para estimar o coeficiente convectivo
. Esta escolha é razoável como primeira aproximação: o ar dentro do cilindro é movimentado pelo pistão e essa ordem de grandeza dá uma estimativa do escoamento relativo sobre as esferas.
Passo 3
Calcular o número de Reynolds de cada esfera para escolher uma correlação de convecção apropriada. A definição:
Para a esfera grande (
):
Para a esfera pequena (
):
O número de Prandtl do ar é
Passo 4
Escolher uma correlação de Nusselt adequada. Para partículas/esferas em escoamento de baixa/moderada Re uma correlação simples e razoável é a de Ranz–Marshall:
Calculo para cada esfera.
Para a esfera grande (
):
Calculando:
,
. Então
O coeficiente de convecção
é
Logo para a esfera grande:
Para a esfera pequena (
):
Aqui
. Então
E
Observação didática rápida: pequenas partículas apresentam áreas de troca muito pequenas, o que faz
dividido por
resultar em valores de
efetivos maiores; é esperado que termopares muito finos troquem calor relativamente rápido.
Passo 5
Derivar a expressão da constante de tempo usando o método da capacitância global (modelo lumped). Para um corpo homogêneo com volume
, área de superfície
, massa volumétrica
e capacidade térmica
, e coeficiente convectivo
, a equação de energia no modelo lumped é
A constante de tempo característica
(quando
é constante) é
Para uma esfera o volume e a área são
e
. Substituindo-se,
Esta fórmula é muito prática:
escala linearmente com o diâmetro
e inversamente com
.
Agora calculo numericamente usando os dados do termopar (
) e os
estimados.
Para a esfera grande:
Calculemos passo a passo:
Denominador
. Então
Para a esfera pequena:
Numerador
. Denominador
. Então
Interpretação rápida: termopar pequeno responde muito mais rápido (ordem de décimos de segundo) enquanto o grande é lento (vários segundos).
Passo 6
Verificar a validade do método da capacitância global via número de Biot. O critério comum é
, com
para esfera. Assim
Para a esfera grande:
Para a esfera pequena:
Ambos são muito menores que
, portanto a temperatura interna dos termopares é praticamente uniforme — condição que justifica o uso do modelo de capacitância global.
Passo 7
Resolver a equação lumped para o caso onde
varia senoidalmente com a frequência do compressor. Escrevo o problema de forma geral:
Defino
(já derivado) e escrevo a equação em forma padrão:
Agora suponho
A solução geral é soma da solução do homogêneo (transiente) e de uma solução particular (regime permanente forçado). A solução do homogêneo é
e decai com o tempo. A solução particular (estado estacionário periódico) tem a forma sinusoidal com mesma frequência e com amplitude reduzida e fase atrasada:
Usando representação complexa ou método direto, chega-se à forma do regime periódico:
onde o ângulo de defasagem
satisfaz
A amplitude de resposta é atenuada por um fator
e há um atraso de fase
(o sinal da defasagem é tal que a resposta atrasa o forçamento).
A solução completa, incluindo transiente, pode ser escrita (se for necessário o termo transitório):
mas para a resposta periódica de interesse na parte (b) usa-se a expressão
acima.
Passo 8
Aplicar numericamente para cada termopar: frequência
.
Calcular
, fator de atenuação e defasagem para cada termopar.
Para o termopar grande (
):
A atenuação:
A defasagem:
Portanto, no regime periódico:
Isto significa que o termopar grande praticamente não acompanha a oscilação rápida do ar: sua amplitude é reduzida a cerca de
da amplitude do ar e está quase defasada de
.
Para o termopar pequeno (
):
A atenuação:
A defasagem:
Logo, no regime periódico:
Isto indica que o termopar pequeno segue parte da oscilação do ar (cerca de
da amplitude) e sofre uma defasagem de aproximadamente
.
Passo 9
Resumo justificativo do uso do método da capacitância global (parte c):
- O critério clássico é
. Calculamos e , muito menores que . Isso garante que a resistência térmica interna (condução dentro da esfera) é negligenciável frente à resistência convectiva de superfície, logo a temperatura da esfera é praticamente uniforme e o modelo lumped é válido. - Além disso o material dos termopares tem alta condutividade (
), o que reforça a uniformidade interna de temperatura. - Observação prática: embora o método lumped seja válido para descrever a uniformidade interna e obter
, a resposta temporal (rápida ou lenta) depende de em relação ao período do forçamento. Aqui vimos que o termopar grande tem muito maior que o período do ciclo ( ), por isso não segue as flutuações; o pequeno tem da mesma ordem do período e responde parcialmente. Isso não contradiz o uso do modelo lumped — apenas descreve a dinâmica.
Resposta
(a)
(termopar grande) \newline
(a) (termopar pequeno) \newline
(b) Para com
, as soluções no regime periódico são:\newline
\newline
\newline
(c) O método da capacitância global é válido porque e
, ou seja, a temperatura interna de cada esfera é praticamente uniforme.
(a)
(b) Para
(c) O método da capacitância global é válido porque