Problema 14

O escoamento no canal formado entre duas placas paralelas pode ser considerado como um escoamento interno. O comprimento do canal é " L ", a separação entre as placas paralelas é " a " e a largura das placas paralelas é “b”, sendo que b \gg a. O perfil de velocidades para as condições plenamente desenvolvidas, e o balanço de energia num elemento diferencial, são mostrados nas expressões abaixo.
\begin{aligned} & u(y)=\frac{3}{2} u_{m}\left(1-\frac{4 y^{2}}{a^{2}}\right) \\\ & \text { (a) } \\\ & (d \dot{m}) c_{p} \frac{\partial T}{\partial x} d x=-\frac{\partial q_{y}}{\partial y} d y \\\ & \text { (b) } \\\ & \text { A equação diferencial que governa o } \\\ & \text { fenômeno deve ser obtida a partir do } \\\ & \text { balanço dado na Eq. (b). } \end{aligned}çãôç
a) A partir do balanço de energia, dado na Eq. (b), obter a equação diferencial que governa o processo.
b) Assumindo fluxo térmico na superfície constante ( q^{\prime \prime}{ }_{s}= constante), determinar uma expressão para o perfil de temperatura
c) Assumindo fluxo térmico na superfície constante ( q^{\prime \prime}{ }_{s}= constante), determinar uma expressão para a temperatura média.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que eu peguei do enunciado):
  • Geometria e parâmetros:
    • separação entre placas: \,a (distância entre as duas placas, com as placas em y=\pm a/2);
    • largura das placas (no sentido ortogonal ao plano x- y): \,b com \,b\gg a (isso permite tratar o problema por unidade de largura b);
    • comprimento do canal: \,L (não será necessário explicitamente para derivar as fórmulas locais);
  • Perfil de velocidade (pleno desenvolvimento hidráulico), função de y: u(y)=\frac{3}{2}u_{m}\left(1-\frac{4y^{2}}{a^{2}}\right),onde \,u_m é a velocidade média (a integração mostrará que a velocidade média realmente é \,u_m).
  • Balanço de energia diferencial dado (escrito no enunciado como Eq. (b)): (d\dot m)\,c_{p}\,\frac{\partial T}{\partial x}\,dx=-\frac{\partial q_{y}}{\partial y}\,dy.Aqui:
    • \,d\dot m é a taxa de massa que atravessa uma faixa infinitesimal de espessura dy (por unidade de largura b);
    • \,c_p é o calor específico à pressão constante;
    • \,T(x,y) é a temperatura do fluido;
    • \,q_y é o fluxo de calor no sentido y (condução no sentido da separação entre placas).
  • Condição de contorno pedida para (b) e (c): fluxo térmico de superfície constante,
    \,q''_s= constante, aplicado nas superfícies das placas (em y=\pm a/2).
O enunciado pede:
(a) a partir do balanço de energia da Eq. (b) obter a equação diferencial que governa o processo;
(b) assumindo \,q''_s= constante, determinar uma expressão para o perfil de temperatura T(x,y);
(c) assumindo \,q''_s= constante, determinar uma expressão para a temperatura média T_m(x).

Passo 2

Interpretação do balanço e simplificação preliminar (razão física e definição de massas):
  • A intenção do balanço é comparar a variação convectiva de energia ao longo de dx para a parcela de fluido que atravessa a faixa dy com o ganho/ perda por condução na direção y.
  • A massa que atravessa a faixa dy por unidade de largura b é d\dot m = \rho\,u(y)\,b\,dy,onde \rho é a densidade do fluido.
  • Se dividirmos a equação do enunciado por dx\,dy (presumindo estado estacionário e pequenos elementos), obtemos a forma local do balanço: \rho\,u(y)\,b\,c_p\,\frac{\partial T}{\partial x} = -\frac{\partial q_y}{\partial y}\,b.Cancela-se a largura b (estudamos por unidade de largura), ficando \rho\,c_p\,u(y)\,\frac{\partial T}{\partial x} = -\frac{\partial q_y}{\partial y}.
  • Observação sobre q_y: pela lei de Fourier para condução, se a condutividade térmica \,k for constante, q_y = -k\,\frac{\partial T}{\partial y}.

Passo 3

Dedução da equação diferencial governante (resposta do item (a)) — desenvolvimento didático:
  • Substituindo a lei de Fourier em -\partial q_y/\partial y obtemos -\frac{\partial q_y}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}\left(-k\frac{\partial T}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial y}\right).
  • Se \,k for constante, isso simplifica para -\frac{\partial q_y}{\partial y} = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.
  • Logo, a equação governante local fica (forma geral e forma para k constante): \boxed{\\ \rho\,c_p\,u(y)\,\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial y}\right)\\ }e, para k constante, \boxed{\\ k\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = \rho\,c_p\,u(y)\,\frac{\partial T}{\partial x}\\ }.
Explicação das variáveis na equação:
  • \rho: densidade do fluido (kg/m^3);
  • \,c_p: calor específico a pressão constante (J/(kg·K));
  • \,u(y): velocidade local podle perfil fornecido (m/s);
  • \,T(x,y): temperatura (K ou °C);
  • \,k: condutividade térmica do fluido (W/(m·K)).
    Essa é uma equação de convecção (derivada em x) acoplada com condução em y.

Passo 4

Estratégia para resolver para o caso \,q''_s= constante (itens (b) e (c)) — hipótese de regime térmico plenamente desenvolvido:
  • No enunciado foi dado o perfil de velocidade plenamente desenvolvido; tipicamente, para o caso de aquecimento por fluxo de calor constante nas duas paredes e em regime também plenamente desenvolvido termicamente, a forma do perfil de temperatura em y não muda ao longo de x, somente há um acréscimo linear da temperatura média com x.
  • Portanto fazemos a hipótese clássica de temperatura termicamente plenamente desenvolvida: a forma transversal \theta(y) é independente de x, e a variação com x aparece somente como uma componente linear. Assim escrevemos T(x,y) = T_m(x) + \theta(y),onde \,T_m(x) é a temperatura média de massa (definida adiante) que depende de x, e \theta(y) é o desvio de temperatura local em relação à média, função apenas de y.
  • Essa hipótese implica que \frac{\partial T}{\partial x} = \frac{dT_m}{dx},ou seja, a derivada em x é independente de y.

Passo 5

Determinar a taxa de variação da temperatura média dT_m/dx usando balanço global (preparando o item (c)):
  • Energia adicionada por unidade de comprimento dx por unidade de largura b é a soma dos fluxos nas duas paredes: \dot Q' = 2\,q''_s,(onde \dot Q' é potência por unidade de largura por unidade de comprimento — unidades \text{W/m}).
  • A taxa de variação de energia convectiva do escoamento por unidade de largura é \dot m\,c_p\,dT_m/dx, onde a vazão mássica por unidade de largura é \dot m = \rho\int_{-a/2}^{a/2} u(y)\,dy.
  • Calculemos a integral usando o perfil dado: \int_{-a/2}^{a/2} u(y)\,dy = \int_{-a/2}^{a/2} \frac{3}{2}u_m\left(1-\frac{4y^{2}}{a^{2}}\right)dy.Faço as contas passo a passo:
    • \displaystyle \int_{-a/2}^{a/2} 1\,dy = a.
    • \displaystyle \int_{-a/2}^{a/2} y^{2}\,dy = \frac{a^{3}}{12}.
    • Assim, \int_{-a/2}^{a/2} u(y)\,dy = \frac{3}{2}u_m\left(a - \frac{4}{a^{2}}\cdot\frac{a^{3}}{12}\right) = \frac{3}{2}u_m\left(a-\frac{a}{3}\right)=\frac{3}{2}u_m\cdot\frac{2a}{3}=a\,u_m.
    Conclusão: \displaystyle \dot m = \rho\,a\,u_m (por unidade de largura b).
  • Então o balanço de energia por unidade de largura dá \dot m\,c_p\,\frac{dT_m}{dx} = 2\,q''_s \quad\Longrightarrow\quad \rho\,a\,u_m\,c_p\,\frac{dT_m}{dx} = 2\,q''_s.
  • Assim: \boxed{\\ \frac{dT_m}{dx} = \frac{2\,q''_s}{\rho\,c_p\,u_m\,a}\\ }.Observação física: isso mostra que a temperatura média cresce linearmente com x quando o fluxo de calor nas paredes é constante.

Passo 6

Resolver a equação para \theta(y) (perfil transversal) usando a hipótese de forma independente de x — partida para o item (b):
  • Com a hipótese \partial T/\partial x = dT_m/dx (constante em y), a equação diferencial do Passo 3 para k constante vira k\,\frac{d^{2}\theta}{dy^{2}} = \rho\,c_p\,u(y)\,\frac{dT_m}{dx}.
  • Denote G\equiv \dfrac{dT_m}{dx}, que já foi encontrado no Passo 5. Então \frac{d^{2}\theta}{dy^{2}} = \frac{\rho\,c_p\,G}{k}\,u(y).
  • Substitua o perfil de velocidade u(y)=\dfrac{3}{2}u_m\left(1-\dfrac{4y^{2}}{a^{2}}\right): \frac{d^{2}\theta}{dy^{2}} = \frac{\rho\,c_p\,G}{k}\cdot\frac{3}{2}u_m\left(1-\frac{4y^{2}}{a^{2}}\right).
  • Integramos duas vezes em y. Primeiro, a primitiva (observar condição de simetria \theta'(0)=0): \frac{d\theta}{dy} = \frac{\rho\,c_p\,G}{k}\cdot\frac{3}{2}u_m\left(y-\frac{4y^{3}}{3a^{2}}\right)+C_{1}.Pela simetria central, \theta'(0)=0 implica C_{1}=0.
  • Integrando novamente (e impondo uma constante de integração C_{2}): \theta(y) = \frac{\rho\,c_p\,G}{k}\,u_m\left(\frac{3}{4}y^{2}-\frac{1}{2}\frac{y^{4}}{a^{2}}\right)+C_{2}.

Passo 7

Determinar a constante C_{2} usando a condição de definição da temperatura média de massa:
  • A temperatura média de massa é definida por T_m(x) \;=\; \frac{\int_{-a/2}^{a/2} u(y)\,T(x,y)\,dy}{\int_{-a/2}^{a/2} u(y)\,dy} \;=\; \frac{1}{a\,u_m}\int_{-a/2}^{a/2} u(y)\,T(x,y)\,dy,já que \displaystyle\int_{-a/2}^{a/2} u(y)\,dy=a\,u_m (do Passo 5).
  • Substituindo T=T_m+\theta obtemos a condição \int_{-a/2}^{a/2} u(y)\,\theta(y)\,dy = 0.Essa é a condição que define C_{2} (o desvio médio ponderado por u é nulo).
  • Substitua a expressão obtida para \theta(y) e note que o fator \dfrac{\rho\,c_p\,G}{k}\,u_m é constante em y. Então escrevemos \int_{-a/2}^{a/2} u(y)\left[\frac{\rho\,c_p\,G}{k}\,u_m\left(\frac{3}{4}y^{2}-\frac{1}{2}\frac{y^{4}}{a^{2}}\right)+C_{2}\right]dy = 0.Isso dá C_{2}\int_{-a/2}^{a/2} u(y)\,dy + \frac{\rho\,c_p\,G}{k}\,u_m\int_{-a/2}^{a/2} u(y)\left(\frac{3}{4}y^{2}-\frac{1}{2}\frac{y^{4}}{a^{2}}\right)dy = 0.Lembrando \int_{-a/2}^{a/2} u(y)\,dy = a\,u_m, isolamos C_{2}: C_{2} = -\frac{\rho\,c_p\,G}{k}\,\frac{u_m}{a\,u_m}\,I = -\frac{\rho\,c_p\,G}{k}\,\frac{I}{a},onde I \equiv \int_{-a/2}^{a/2} u(y)\left(\frac{3}{4}y^{2}-\frac{1}{2}\frac{y^{4}}{a^{2}}\right)dy.

Passo 8

Cálculo explícito da integral I (contas algébricas):
  • Usando u(y)=\dfrac{3}{2}u_m\left(1-\dfrac{4y^{2}}{a^{2}}\right), escrevemos I como I=\int_{-a/2}^{a/2} \frac{3}{2}u_m\left(1-\frac{4y^{2}}{a^{2}}\right)\left(\frac{3}{4}y^{2}-\frac{1}{2}\frac{y^{4}}{a^{2}}\right)dy.
  • Fazendo as integrais simétricas (aproveitando que todas as integrandas são funções pares) e calculando termo a termo, obtém-se (passando pelos cálculos mostrados no desenvolvimento): I = \frac{39}{1120}\,u_m\,a^{3}.(Detalhe das integrais: \int y^{2}=\dfrac{a^{3}}{12}, \int y^{4}=\dfrac{a^{5}}{80}, \int y^{6}=\dfrac{a^{7}}{448}, combinadas conforme os coeficientes levam ao valor acima.)

Passo 9

Substituir I e G para obter C_{2} e a expressão final de \theta(y):
  • Do Passo 5 temos G=\dfrac{2q''_s}{\rho\,c_p\,u_m\,a}.
  • Substituindo em C_{2} = -\dfrac{\rho c_p G}{k}\dfrac{I}{a}, e usando I=\dfrac{39}{1120}u_m a^{3}, obtemos: C_{2} = -\frac{\rho c_p}{k}\cdot\frac{2q''_s}{\rho c_p u_m a}\cdot\frac{39}{1120}u_m a^{3}\cdot\frac{1}{a} = -\frac{39\,q''_s\,a}{560\,k}.
  • Agora calculemos o prefator \dfrac{\rho c_p G}{k}u_m que aparece na expressão de \theta: \frac{\rho c_p G}{k}\,u_m = \frac{\rho c_p }{k}\cdot\frac{2q''_s}{\rho c_p u_m a}\cdot u_m = \frac{2q''_s}{a k}.
  • Portanto a expressão para \theta(y) fica \theta(y)=\frac{2q''_s}{a k}\left(\frac{3}{4}y^{2}-\frac{1}{2}\frac{y^{4}}{a^{2}}\right) - \frac{39\,q''_s\,a}{560\,k}.

Passo 10

Montar a expressão final para T(x,y) e para T_m(x) (respostas dos itens (b) e (c)):
  • Usando T(x,y)=T_m(x)+\theta(y) e o resultado do Passo 5 para T_m(x), T_m(x)=T_m(0)+\frac{2\,q''_s}{\rho\,c_p\,u_m\,a}\,x,onde T_m(0) é a temperatura média na entrada (valor de referência — se o enunciado der T_{in}, substituir).
  • E \theta(y) é a função do Passo 9. Assim, reunindo: T(x,y) = T_m(0) + \frac{2\,q''_s}{\rho\,c_p\,u_m\,a}\,x + \frac{2q''_s}{a k}\!\left(\frac{3}{4}y^{2}-\frac{1}{2}\frac{y^{4}}{a^{2}}\right) - \frac{39\,q''_s\,a}{560\,k}.

Resposta

\displaystyle \rho\,c_p\,u(y)\,\frac{\partial T}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial y}\right)
\displaystyle T(x,y)=T_m(0)+\frac{2\,q''_s}{\rho\,c_p\,u_m\,a}\,x+\frac{2q''_s}{a k}\!\left(\frac{3}{4}y^{2}-\frac{1}{2}\frac{y^{4}}{a^{2}}\right)-\frac{39\,q''_s\,a}{560\,k}
\displaystyle T_m(x)=T_m(0)+\frac{2\,q''_s}{\rho\,c_p\,u_m\,a}\,x

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