Problema 14
O escoamento no canal formado entre duas placas paralelas pode ser considerado como um escoamento interno. O comprimento do canal é "
", a separação entre as placas paralelas é "
" e a largura das placas paralelas é “b”, sendo que b
. O perfil de velocidades para as condições plenamente desenvolvidas, e o balanço de energia num elemento diferencial, são mostrados nas expressões abaixo.
a) A partir do balanço de energia, dado na Eq. (b), obter a equação diferencial que governa o processo.
b) Assumindo fluxo térmico na superfície constante (
constante), determinar uma expressão para o perfil de temperatura
c) Assumindo fluxo térmico na superfície constante (
constante), determinar uma expressão para a temperatura média.
b) Assumindo fluxo térmico na superfície constante (
c) Assumindo fluxo térmico na superfície constante (
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que eu peguei do enunciado):
- Geometria e parâmetros:
- separação entre placas:
(distância entre as duas placas, com as placas em ); - largura das placas (no sentido ortogonal ao plano
- ): com (isso permite tratar o problema por unidade de largura ); - comprimento do canal:
(não será necessário explicitamente para derivar as fórmulas locais);
- separação entre placas:
- Perfil de velocidade (pleno desenvolvimento hidráulico), função de
: onde é a velocidade média (a integração mostrará que a velocidade média realmente é ). - Balanço de energia diferencial dado (escrito no enunciado como Eq. (b)):
Aqui: -
é a taxa de massa que atravessa uma faixa infinitesimal de espessura (por unidade de largura ); -
é o calor específico à pressão constante; -
é a temperatura do fluido; -
é o fluxo de calor no sentido (condução no sentido da separação entre placas).
-
- Condição de contorno pedida para (b) e (c): fluxo térmico de superfície constante,
constante, aplicado nas superfícies das placas (em ).
O enunciado pede:
(a) a partir do balanço de energia da Eq. (b) obter a equação diferencial que governa o processo;
(b) assumindo constante, determinar uma expressão para o perfil de temperatura
;
(c) assumindo constante, determinar uma expressão para a temperatura média
.
(a) a partir do balanço de energia da Eq. (b) obter a equação diferencial que governa o processo;
(b) assumindo
(c) assumindo
Passo 2
Interpretação do balanço e simplificação preliminar (razão física e definição de massas):
- A intenção do balanço é comparar a variação convectiva de energia ao longo de
para a parcela de fluido que atravessa a faixa com o ganho/ perda por condução na direção . - A massa que atravessa a faixa
por unidade de largura é onde é a densidade do fluido. - Se dividirmos a equação do enunciado por
(presumindo estado estacionário e pequenos elementos), obtemos a forma local do balanço: Cancela-se a largura (estudamos por unidade de largura), ficando - Observação sobre
: pela lei de Fourier para condução, se a condutividade térmica for constante,
Passo 3
Dedução da equação diferencial governante (resposta do item (a)) — desenvolvimento didático:
- Substituindo a lei de Fourier em
obtemos - Se
for constante, isso simplifica para - Logo, a equação governante local fica (forma geral e forma para
constante): e, para constante,
Explicação das variáveis na equação:
-
: densidade do fluido (kg/m^3); -
: calor específico a pressão constante (J/(kg·K)); -
: velocidade local podle perfil fornecido (m/s); -
: temperatura (K ou °C); -
: condutividade térmica do fluido (W/(m·K)).
Essa é uma equação de convecção (derivada em) acoplada com condução em .
Passo 4
Estratégia para resolver para o caso
constante (itens (b) e (c)) — hipótese de regime térmico plenamente desenvolvido:
- No enunciado foi dado o perfil de velocidade plenamente desenvolvido; tipicamente, para o caso de aquecimento por fluxo de calor constante nas duas paredes e em regime também plenamente desenvolvido termicamente, a forma do perfil de temperatura em
não muda ao longo de , somente há um acréscimo linear da temperatura média com . - Portanto fazemos a hipótese clássica de temperatura termicamente plenamente desenvolvida: a forma transversal
é independente de , e a variação com aparece somente como uma componente linear. Assim escrevemos onde é a temperatura média de massa (definida adiante) que depende de , e é o desvio de temperatura local em relação à média, função apenas de . - Essa hipótese implica que
ou seja, a derivada em é independente de .
Passo 5
Determinar a taxa de variação da temperatura média
usando balanço global (preparando o item (c)):
- Energia adicionada por unidade de comprimento
por unidade de largura é a soma dos fluxos nas duas paredes: (onde é potência por unidade de largura por unidade de comprimento — unidades ). - A taxa de variação de energia convectiva do escoamento por unidade de largura é
, onde a vazão mássica por unidade de largura é - Calculemos a integral usando o perfil dado:
Faço as contas passo a passo: -
-
- Assim,
(por unidade de largura ). -
- Então o balanço de energia por unidade de largura dá
- Assim:
Observação física: isso mostra que a temperatura média cresce linearmente com quando o fluxo de calor nas paredes é constante.
Passo 6
Resolver a equação para
(perfil transversal) usando a hipótese de forma independente de
— partida para o item (b):
- Com a hipótese
(constante em ), a equação diferencial do Passo 3 para constante vira - Denote
, que já foi encontrado no Passo 5. Então - Substitua o perfil de velocidade
: - Integramos duas vezes em
. Primeiro, a primitiva (observar condição de simetria ): Pela simetria central, implica . - Integrando novamente (e impondo uma constante de integração
):
Passo 7
Determinar a constante
usando a condição de definição da temperatura média de massa:
- A temperatura média de massa é definida por
já que (do Passo 5). - Substituindo
obtemos a condição Essa é a condição que define (o desvio médio ponderado por é nulo). - Substitua a expressão obtida para
e note que o fator é constante em . Então escrevemos Isso dá Lembrando , isolamos : onde
Passo 8
Cálculo explícito da integral
(contas algébricas):
- Usando
, escrevemos como - Fazendo as integrais simétricas (aproveitando que todas as integrandas são funções pares) e calculando termo a termo, obtém-se (passando pelos cálculos mostrados no desenvolvimento):
(Detalhe das integrais: , , , combinadas conforme os coeficientes levam ao valor acima.)
Passo 9
Substituir
e
para obter
e a expressão final de
:
- Do Passo 5 temos
. - Substituindo em
, e usando , obtemos: - Agora calculemos o prefator
que aparece na expressão de : - Portanto a expressão para
fica
Passo 10
Montar a expressão final para
e para
(respostas dos itens (b) e (c)):
- Usando
e o resultado do Passo 5 para , onde é a temperatura média na entrada (valor de referência — se o enunciado der , substituir). - E
é a função do Passo 9. Assim, reunindo: