Seja v(x, y, z) o campo de velocidades de um fluido em movimento. Determinar a variação de v no ponto e direção indicados.
v(x, y, z)=(2 x, 2 y,-12 z) ; P0(1,1,2) ; na direção do vetor i+j+k

Passo 1

O problema é determinar a derivada direcional de v(x,y,z) = (2x,2y,-tfrac12 z) no ponto P0(1,1,2) na direção de i+j+k. Esse exercício envolve derivadas direcionais de campos vetoriais e requer calcular o vetor unitário da direção e a matriz jacobiana de v.

Passo 2

Definimos o vetor de direção d = (1,1,1). O módulo é |d| = raiz1^2+1^2+1^2 = raiz3, de onde o vetor unitário é
u = d|d| = l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r)

Passo 3

Para um campo v=(v1,v2,v3), a derivada direcional em u é (ucdotnabla)v. Calculamos as derivadas parciais:
partial v1/partial x = 2, partial v1/partial y = 0, partial v1/partial z = 0; partial v2/partial x = 0, partial v2/partial y = 2, partial v2/partial z = 0; partial v3/partial x = 0, partial v3/partial y = 0, partial v3/partial z = -tfrac12
Logo a matriz jacobiana é
nablav = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -tfrac12

Passo 4

Aplicando a definição (ucdotnabla)v = (nablav),u, multiplicamos:
$$ 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -tfrac12 1/raiz3 1/raiz3 1/raiz3 = 2/raiz3 2/raiz3 -1/(2raiz3)

\begin{pmatrix}
2/\sqrt{3} \
2/\sqrt{3} \
-1/(2\sqrt{3})
\end{pmatrix}.$$

Passo 5

Portanto, a variação de v no ponto P0 na direção dada é o vetor acima.

Resposta

l(tfrac2raiz3,tfrac2raiz3,-tfrac12raiz3r)

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