Métodos Matemáticos para a Engenharia
Prova: Transformada de Laplace
Seja a in R. Definimos a Função Degrau Unitário de Índice a como sendo:
ua(t)=ll 0, & se 0 <= t= a
Faça o que se pede:
b) Fixe a >= 0 e Lf(t)=F(s), para s>c. Usando a definição de Transformada de Laplace, determine Lua(t) f(t-a).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática super útil na engenharia para resolver equações diferenciais. O enunciado define uma Função Degrau Unitário de Índice , que basicamente “liga” uma função a partir do tempo . A gente precisa descobrir qual é a transformada de Laplace dessa função degrau multiplicada por , que é a função deslocada no tempo. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades básicas dessa transformada.

Passo 2

Vamos começar lembrando a definição da Transformada de Laplace. Para uma função Lg(t) = integral0^infty e^-s t g(t) , dt , a transformada de Laplace é dada por:
No nosso caso, queremos encontrar . A função é zero para e igual a 1 para , então ela basicamente ativa a função a partir do tempo .

Passo 3

Vamos substituir Lua(t) f(t - a) = integral0^infty e^-s t ua(t) f(t - a) , dt por = integrala^infty e^-s t f(t - a) , dt na definição da Transformada de Laplace:
Como é zero para , a integral só contribui a partir de . Então podemos ajustar os limites da integral:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja = integral0^infty e^-s (tau + a) f(tau) , dtau , então = e^-s a integral0^infty e^-s tau f(tau) , dtau e . Quando , , e quando , . Substituindo na integral:
Podemos separar os termos no expoente:

Passo 5

Perceba que a integral que sobrta é exatamente a Transformada de Laplace de = e^-s a F(s) , que é :

Resposta

A Transformada de Laplace de Lua(t) f(t - a) = e^-s a F(s) é:

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