Métodos Matemáticos para a Engenharia
Prova: Transformada de Laplace
Seja
. Definimos a Função Degrau Unitário de Índice a como sendo:
Faça o que se pede:
b) Fixe
e
, para
. Usando a definição de Transformada de Laplace, determine
.
Prova: Transformada de Laplace
Seja
b) Fixe
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática super útil na engenharia para resolver equações diferenciais. O enunciado define uma Função Degrau Unitário de Índice
, que basicamente “liga” uma função a partir do tempo
. A gente precisa descobrir qual é a transformada de Laplace dessa função degrau multiplicada por
, que é a função
deslocada no tempo. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades básicas dessa transformada.
Passo 2
Vamos começar lembrando a definição da Transformada de Laplace. Para uma função
, a transformada de Laplace é dada por:
No nosso caso, queremos encontrar
. A função
é zero para
e igual a 1 para
, então ela basicamente ativa a função
a partir do tempo
.
Passo 3
Vamos substituir
por
na definição da Transformada de Laplace:
Como
é zero para
, a integral só contribui a partir de
. Então podemos ajustar os limites da integral:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja
, então
e
. Quando
,
, e quando
,
. Substituindo na integral:
Podemos separar os termos no expoente:
Passo 5
Perceba que a integral que sobrta é exatamente a Transformada de Laplace de
, que é
:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: