Seja o campo vetorial
F = (2 x sen z) i + (z^3 - epsilon^y) j + (x^2 cos z + 3 y z^2) k
(a) Mostre que F = vetor(F) é conservativo

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial e precisa mostrar que ele é conservativo. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente em campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo vetorial e verificar se ele é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial . Ele está dado por:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de , que é dado por:

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do rotacional:

Resposta

Como o rotacional de é zero, concluímos que o campo vetorial é conservativo.

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