(e) Seja o campo vetorial
e seja
a hélice parametrizada por
Calcule
Passo 1
O enunciado dá:
- O campo vetorial
. - A curva
é a hélice parametrizada por , com .
O que o problema pede:
- Calcular
.
Passo 2
Como vamos resolver (explicação do método e por que escolhi ele).
- Para integrar
ao longo de uma curva parametrizada, o método direto e mais básico é usar a parametrização e transformar a integral de linha em uma integral em :
Aqui
é a derivada da parametrização e
é o campo avaliado ao longo da curva.
- Outra ideia possível é verificar se
é um campo conservativo (isto permitiria achar uma potencial e usar o teorema fundamental). Para isso dá pra checar o rotacional. Calcular rapidamente o rotacional:
Como o rotacional não é zero (
), o campo não é conservativo e não podemos usar potencial para simplificar. Então a parametrização é a escolha natural e simples — é direta, elementar e a curva já vem parametrizada.
Passo 3
Calcular
e
.
- Derivada da parametrização componente a componente:
Explanação curta: derivar cada componente em relação a
:
,
,
.
- Avaliar o campo ao longo da curva pegando as componentes de
:
Observação: a componente
de
é
, a componente
é
; substituiu-se na fórmula de
.
Passo 4
Calcular o produto escalar
(explicando o produto escalar).
- Produto escalar de dois vetores
e é . Aqui:
- Simplificando usando
:
Comentário: ficou uma expressão simples porque as duas primeiras componentes somam para
pelo identity trigonométrica.
Passo 5
Transformar a integral de linha numa integral em
e calcular.
- Pelo passo anterior:
- Calcular a primitiva (antiderivada). A integral de
é . A integral de é . Assim:
- Avaliando nos limites:
Passo 6
Interpretação final e encorajamento rápido.
- A integral deu uma soma simples de termos vindos da parte constante do produto escalar (
) e da parte que cresce linearmente com ( ). Resultado final é uma expressão em termos de . - Bom trabalho por aguentar até aqui — essa técnica (avaliar
, derivar , fazer o produto escalar e integrar) é a receita que costuma resolver a maior parte das integrais de linha quando a curva vem parametrizada.