(e) Seja o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y, z)=(-y, x, z)
e seja C a hélice parametrizada por
\mathbf{r}(t)=(\cos t, \sin t, t), \quad 0 \leq t \leq 2 \pi .
Calcule
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} .

Passo 1

O enunciado dá:
  • O campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=(-y,\,x,\,z).
  • A curva C é a hélice parametrizada por \mathbf{r}(t)=(\cos t,\,\sin t,\,t), com 0\le t\le 2\pi.
O que o problema pede:
  • Calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Como vamos resolver (explicação do método e por que escolhi ele).
  • Para integrar \mathbf{F} ao longo de uma curva parametrizada, o método direto e mais básico é usar a parametrização e transformar a integral de linha em uma integral em t:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada da parametrização e \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado ao longo da curva.
  • Outra ideia possível é verificar se \mathbf{F} é um campo conservativo (isto permitiria achar uma potencial e usar o teorema fundamental). Para isso dá pra checar o rotacional. Calcular rapidamente o rotacional:
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial}{\partial y}z-\frac{\partial}{\partial z}x,\;\frac{\partial}{\partial z}(-y)-\frac{\partial}{\partial x}z,\;\frac{\partial}{\partial x}x-\frac{\partial}{\partial y}(-y)\right)=(0,0,2).
Como o rotacional não é zero ( \nabla\times\mathbf{F}=(0,0,2)), o campo não é conservativo e não podemos usar potencial para simplificar. Então a parametrização é a escolha natural e simples — é direta, elementar e a curva já vem parametrizada.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t) e \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)).
  • Derivada da parametrização componente a componente:
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\,\sin t,\,t)\quad\Rightarrow\quad \mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\,\cos t,\,1).
Explanação curta: derivar cada componente em relação a t: \frac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \frac{d}{dt}\sin t=\cos t, \frac{d}{dt}t=1.
  • Avaliar o campo ao longo da curva pegando as componentes de \mathbf{r}(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\bigl(-(\sin t),\; \cos t,\; t\bigr)=(-\sin t,\,\cos t,\,t).
Observação: a componente x de \mathbf{r}(t) é \cos t, a componente y é \sin t; substituiu-se na fórmula de \mathbf{F}.

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) (explicando o produto escalar).
  • Produto escalar de dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) é a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. Aqui:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=(-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t)+t\cdot 1.
  • Simplificando usando \sin^2 t+\cos^2 t=1:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=\sin^2 t+\cos^2 t + t = 1 + t.
Comentário: ficou uma expressão simples porque as duas primeiras componentes somam para 1 pelo identity trigonométrica.

Passo 5

Transformar a integral de linha numa integral em t e calcular.
  • Pelo passo anterior:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi}\bigl(1+t\bigr)\,dt.
  • Calcular a primitiva (antiderivada). A integral de 1 é t. A integral de t é \dfrac{t^2}{2}. Assim:
\int_{0}^{2\pi}(1+t)\,dt=\left[t+\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{2\pi}.
  • Avaliando nos limites:
\left[t+\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{2\pi}=\left(2\pi+\frac{(2\pi)^2}{2}\right)-\left(0+\frac{0^2}{2}\right)=2\pi+\frac{4\pi^2}{2}=2\pi+2\pi^2.

Passo 6

Interpretação final e encorajamento rápido.
  • A integral deu uma soma simples de termos vindos da parte constante do produto escalar ( 1) e da parte que cresce linearmente com t ( t). Resultado final é uma expressão em termos de \pi.
  • Bom trabalho por aguentar até aqui — essa técnica (avaliar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)), derivar \mathbf{r}(t), fazer o produto escalar e integrar) é a receita que costuma resolver a maior parte das integrais de linha quando a curva vem parametrizada.

Resposta

\;2\pi+2\pi^{2}

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