(f) Seja o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\right)
e seja C a curva formada pela interseção do plano
z=x+y
com o cilindro
x^{2}+y^{2}=1,
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Calcule
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} .

Passo 1

O enunciado dá:
  • O campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(x^{2},\,y^{2},\,z^{2}\bigr).
  • A curva C é a interseção do plano \;z=x+y\; com o cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\;, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima (isto é, sentido positivo para o parâmetro t que aumenta).
    O que se pede:
  • Calcular a integral de linha fechada \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Entendendo o que é a integral pedida (rapidamente, de forma prática).
  • A integral \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} mede a circulação de \mathbf{F} ao longo da curva fechada C.
  • Uma ferramenta muito útil: se \mathbf{F} for um campo gradiente (ou seja, existir uma função \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}), então a integral de linha entre dois pontos é dada pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
\int_{A}^{B}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Em particular, se o caminho for fechado (começa e termina no mesmo ponto), a integral de um campo gradiente ao longo de um laço fechado é zero:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0,
desde que o campo seja conservativo no domínio que contém C.

Passo 3

Como testar se \mathbf{F} é conservativo (passo técnico e didático).
  • Um teste simples em \mathbb{R}^{3}: calcular o rotor (curl) de \mathbf{F}. Se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo, então \mathbf{F} é conservativo.
    Calculemos o rotor de \mathbf{F}:
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial}{\partial y}z^{2}-\frac{\partial}{\partial z}y^{2},\; \frac{\partial}{\partial z}x^{2}-\frac{\partial}{\partial x}z^{2},\; \frac{\partial}{\partial x}y^{2}-\frac{\partial}{\partial y}x^{2}\right).
Agora as derivadas:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}z^{2}=0 e \dfrac{\partial}{\partial z}y^{2}=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}x^{2}=0 e \dfrac{\partial}{\partial x}z^{2}=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}y^{2}=0 e \dfrac{\partial}{\partial y}x^{2}=0.
    Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=(0,0,0).
Conclusão: o rotor é nulo em todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 4

Verificar a condição topológica do domínio (simply connected).
  • O campo está definido para todo ponto de \mathbb{R}^{3} (não há singularidades). O espaço \mathbb{R}^{3} é simplesmente conexo.
  • Logo, as hipóteses clássicas se aplicam: rotor zero em domínio simplesmente conexo implica que \mathbf{F} é conservativo (tem potencial).

Passo 5

Encontrar explicitamente uma função potencial \varphi (para exercitar a técnica e ficar seguro).
  • Procuramos \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}, ou seja:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=x^{2},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=y^{2},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=z^{2}.
  • Integramos a primeira igualdade em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+g(y,z),
onde g é função arbitrária de y,z.
  • Derivando isso em relação a y e igualando a y^{2}:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial y}=y^{2}\quad\Rightarrow\quad g(y,z)=\frac{y^{3}}{3}+h(z).
  • Finalmente, pela condição em z:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{dh}{dz}=z^{2}\quad\Rightarrow\quad h(z)=\frac{z^{3}}{3}+C.
Assim uma função potencial é
\varphi(x,y,z)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{3}}{3}+\frac{z^{3}}{3}+C.

Passo 6

Concluir a integral usando o potencial.
  • Como \mathbf{F}=\nabla\varphi e C é uma curva fechada (retorna ao ponto inicial), pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(P_{\text{final}})-\varphi(P_{\text{inicial}})=0.
Portanto a integral pedida vale zero. (Observação: a orientação da curva não altera esse resultado, pois para qualquer laço fechado a variação do potencial é nula.)

Resposta

0

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