(f) Seja o campo vetorial
e seja
a curva formada pela interseção do plano
com o cilindro
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Calcule
Calcule
Passo 1
O enunciado dá:
- O campo vetorial
. - A curva
é a interseção do plano com o cilindro , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima (isto é, sentido positivo para o parâmetro que aumenta).
O que se pede: - Calcular a integral de linha fechada
.
Passo 2
Entendendo o que é a integral pedida (rapidamente, de forma prática).
- A integral
mede a circulação de ao longo da curva fechada . - Uma ferramenta muito útil: se
for um campo gradiente (ou seja, existir uma função tal que ), então a integral de linha entre dois pontos é dada pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
Em particular, se o caminho for fechado (começa e termina no mesmo ponto), a integral de um campo gradiente ao longo de um laço fechado é zero:
desde que o campo seja conservativo no domínio que contém
.
Passo 3
Como testar se
é conservativo (passo técnico e didático).
- Um teste simples em
: calcular o rotor (curl) de . Se em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo, então é conservativo.
Calculemos o rotor de:
Agora as derivadas:
-
e . -
e . -
e .
Portanto
Conclusão: o rotor é nulo em todo
.
Passo 4
Verificar a condição topológica do domínio (simply connected).
- O campo está definido para todo ponto de
(não há singularidades). O espaço é simplesmente conexo. - Logo, as hipóteses clássicas se aplicam: rotor zero em domínio simplesmente conexo implica que
é conservativo (tem potencial).
Passo 5
Encontrar explicitamente uma função potencial
(para exercitar a técnica e ficar seguro).
- Procuramos
tal que , ou seja:
- Integramos a primeira igualdade em relação a
:
onde
é função arbitrária de
.
- Derivando isso em relação a
e igualando a :
- Finalmente, pela condição em
:
Assim uma função potencial é
Passo 6
Concluir a integral usando o potencial.
- Como
e é uma curva fechada (retorna ao ponto inicial), pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha
Portanto a integral pedida vale zero. (Observação: a orientação da curva não altera esse resultado, pois para qualquer laço fechado a variação do potencial é nula.)