(a) Seja
f(x, y)=x^{2} y+\sin (x y)
e seja C qualquer curva suave ligando o ponto (0,1) ao ponto (2, \pi).
Calcule
\int_{C} \nabla f \cdot d \mathbf{r} .

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}y+\sin(xy)
e diz que C é qualquer curva suave que liga o ponto (0,1) ao ponto (2,\pi). Pede-se calcular
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f está explicitada.
  • Os pontos inicial e final da curva C são (0,1) e (2,\pi).
  • A integral a calcular é a integral de linha do campo vetorial \nabla f ao longo de C.

Passo 2

Calcular explicitamente o gradiente \nabla f. Lembre que o gradiente de uma função f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Vamos derivar termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y\big)=2xy.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(\sin(xy)\big)=\cos(xy)\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=\cos(xy)\cdot y.
Logo a primeira componente é 2xy+y\cos(xy).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y\big)=x^{2}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(\sin(xy)\big)=\cos(xy)\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=\cos(xy)\cdot x.
Logo a segunda componente é x^{2}+x\cos(xy).
Portanto
\nabla f(x,y)=\bigl(2xy+y\cos(xy),\;x^{2}+x\cos(xy)\bigr).

Passo 3

Explicar a propriedade que vamos usar (teorema fundamental para gradiente) de forma didática. Seja \mathbf{r}(t), t\in[a,b], uma parametrização suave da curva C tal que
\mathbf{r}(a)=(0,1),\qquad \mathbf{r}(b)=(2,\pi).
A integral de linha que queremos é
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\nabla f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
Agora use o teorema fundamental para gradientes (que vem diretamente da regra da cadeia): a derivada temporal de f(\mathbf{r}(t)) é
\frac{d}{dt}\bigl(f(\mathbf{r}(t))\bigr)=\nabla f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t).
Integrando ambos os lados de t=a a t=b obtemos
\int_{a}^{b}\nabla f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt=f\bigl(\mathbf{r}(b)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(a)\bigr).
Ou seja, para qualquer curva suave C de \mathbf{r}(a) para \mathbf{r}(b),
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=f\bigl(\mathbf{r}(b)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(a)\bigr).
Comentário prático: isso significa que a integral da gradiente depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho — é uma maneira elegante de poupar trabalho na prova.

Passo 4

Aplicar a propriedade aos pontos dados. Aqui \mathbf{r}(a)=(0,1) e \mathbf{r}(b)=(2,\pi), então
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=f(2,\pi)-f(0,1).

Passo 5

Calcular f(2,\pi) e f(0,1) de forma direta.
  • Para (2,\pi):
f(2,\pi)=2^{2}\cdot\pi+\sin(2\cdot\pi)=4\pi+\sin(2\pi)=4\pi+0=4\pi.
  • Para (0,1):
f(0,1)=0^{2}\cdot1+\sin(0\cdot1)=0+\sin(0)=0+0=0.

Passo 6

Substituindo na fórmula do Passo 4:
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=f(2,\pi)-f(0,1)=4\pi-0=4\pi.
Bom trabalho! A integral ficou simples graças ao fato de estarmos integrando o gradiente de uma função.

Resposta

4\pi

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