(a) Seja
e seja
qualquer curva suave ligando o ponto
ao ponto
.
Calcule
Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e diz que
é qualquer curva suave que liga o ponto
ao ponto
. Pede-se calcular
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está explicitada. - Os pontos inicial e final da curva
são e . - A integral a calcular é a integral de linha do campo vetorial
ao longo de .
Passo 2
Calcular explicitamente o gradiente
. Lembre que o gradiente de uma função
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Vamos derivar termo a termo:
-
. -
.
Logo a primeira componente é
.
-
. -
.
Logo a segunda componente é
.
Portanto
Passo 3
Explicar a propriedade que vamos usar (teorema fundamental para gradiente) de forma didática. Seja
,
, uma parametrização suave da curva
tal que
A integral de linha que queremos é
Agora use o teorema fundamental para gradientes (que vem diretamente da regra da cadeia): a derivada temporal de
é
Integrando ambos os lados de
a
obtemos
Ou seja, para qualquer curva suave
de
para
,
Comentário prático: isso significa que a integral da gradiente depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho — é uma maneira elegante de poupar trabalho na prova.
Passo 4
Aplicar a propriedade aos pontos dados. Aqui
e
, então
Passo 5
Calcular
e
de forma direta.
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Substituindo na fórmula do Passo 4:
Bom trabalho! A integral ficou simples graças ao fato de estarmos integrando o gradiente de uma função.