Seja 
 .
(a) Obtenha a forma escalonada de 
 .
(b) 
  é inversível? Justifique e caso seja inversível, determine 
 .
(a) Obtenha a forma escalonada de
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma matriz 
 . O exercício está dividido em duas partes:
(a) Encontrar a forma escalonada de 
 .
(b) Verificar se 
  é inversível. Se for, encontrar 
 .
Vamos precisar entender como transformar uma matriz para a forma escalonada usando operações de linha e também saber como determinar a inversibilidade de uma matriz e, se possível, calcular sua inversa.
Passo 2
Parte (a): Obtendo a forma escalonada de 
 .
Primeiro, vamos lembrar que a forma escalonada de uma matriz é uma versão simplificada onde cada linha começa com um 1 (chamado de “pivô”) que está à direita do pivô da linha anterior, e todas as entradas abaixo dos pivôs são zeros.
Nossa matriz inicial é:
Passo 2.1: Vamos começar deixando o primeiro elemento da primeira linha como 1. Para isso, podemos dividir toda a primeira linha por 2.
Passo 2.2: Agora, queremos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, vamos adicionar a primeira linha à segunda linha.
Agora, a matriz está na forma escalonada.
Passo 3
Parte (b): Verificando se 
  é inversível e, se for, encontrando 
 .
Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de 
 .
Para uma matriz 
 :
onde 
 .
Para nossa matriz:
Então,
Como o determinante é 7 (diferente de zero), 
  é inversível.
Agora, para encontrar 
 , usamos a fórmula para matrizes 
 :
Substituindo os valores:
Resposta
(a) A forma escalonada de 
  é 
 .
(b) A matriz 
  é inversível e a sua inversa é 
 .