Seja A=[cccc1 & -1 & 4 & 0 0 & 3 & -6 & 3 1 & 0 & 4 & 3 1 & 1 & 0 & 0] e R=[cccc0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 -1 & 2 & 1 & 0 0 & 2 & -1 & 1].
(a) (1,5 ponto) Calcule o det(A) e conclua que A é invertivel.
(b) (1,0 ponto) Calcule o determinante de B onde A B=R.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e R de ordem 4 e pede:
  1. Calcular det(A) e concluir que A é invertível.
  2. Encontrar det(B) sabendo que A,B=R.
Para isso vamos usar as propriedades:
  • det(A)neq0 implica que A é invertível.
  • det(A,B)=det(A),det(B).
  • det(A^-1)=1/det(A).

Passo 2

Calcular det(A) por operações de linha e expansão. Começamos com
A= 1 & -1 & 4 & 0 0 & 3 & -6 & 3 1 & 0 & 4 & 3 1 & 1 & 0 & 0
Fazemos
R3 R3-R1, R4 R4-R1,
ficando
1 & -1 & 4 & 0 0 & 3 & -6 & 3 0 & 1 & 0 & 3 0 & 2 & -4 & 0
Expandindo pela primeira coluna:
det(A) =1cdotdet 3 & -6 & 3 1 & 0 & 3 2 & -4 & 0
Agora seja
M= 3 & -6 & 3 1 & 0 & 3 2 & -4 & 0
Calculamos
det(M) =3det0&3-4&0 -(-6)det1&32&0 +3det1&02&-4 =3cdot12 +6cdot(-6)+3cdot(-4) =36-36-12=-12
Logo
det(A)=1cdot(-12)=-12

Passo 3

Como det(A)=-12neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 4

Da relação A,B=R temos
B=A^-1R Longrightarrow det(B)=det(A^-1R)=det(A^-1),det(R)=det(R)det(A)

Passo 5

Calcular det(R) para
R= 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 -1& 2 & 1 & 0 0 & 2 & -1& 1
Fazemos a troca de R1rightarrow R3 (um sinal menos) e expandimos pela primeira coluna:
det(R)=-1cdot det 0&0&1 0&1&3 2&-1&1 (já que o resto da coluna é zero) áé
Seja
N= 0&0&1 0&1&3 2&-1&1
Expandindo pela primeira linha de N:
det(N) =1cdotdet0&12&-1 =0cdot(-1)-1cdot2=-2
Portanto
det(R)=-1cdot(-2)=2 Longrightarrow det(R)=2

Passo 6

Finalmente
det(B)=det(R)det(A) =2-12=-16

Resposta

det(A)=-12, logo A é invertível.
det(B)=-tfrac16

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