Scja A=[ccc1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & a^2 & 1], onde a in R.
(a) (1,0 ponto) Para a=2, calcule a inversa de A.
(b) (1,5 ponto) Mostre que A é invertível se, e somente se, a neq 1 e a neq-1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & a^2 & 1
e pede em (a) a inversa para a=2 e em (b) mostrar que A é invertível se, e somente se, aneq1 e aneq-1. Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan em (a) e cálculo de determinante em (b).

Passo 2

Para a=2 a matriz é
[ccc 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 4 & 1 ]
Aumentando com a identidade, temos
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
Aplicamos R3 R3-4R2, obtendo
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -3 & 0 & -4 & 1 ]
Em seguida R3 -tfrac13R3, e fica
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & tfrac43 & -tfrac13 ]
Por fim eliminamos o termo acima de 1 na coluna 3:
R1 R1-R3 e R2 R2-R3, resultando em
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & -tfrac43 & tfrac13 0 & 1 & 0 & 0 & -tfrac13 & tfrac13 0 & 0 & 1 & 0 & tfrac43 & -tfrac13 ]
Daí a inversa para a=2 é
A^-1= 1 & -tfrac43 & tfrac13 0 & -tfrac13 & tfrac13 0 & tfrac43 & -tfrac13

Passo 3

Para mostrar a condição de invertibilidade em geral, calculamos o determinante de
Expandindo pela primeira linha:
Isso dá

Passo 4

Uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Logo
det(A)neq0iff1-a^2neq0iff a^2neq1iff aneq1 e aneq-1

Resposta

(a)
A^-1= 1 & -tfrac43 & tfrac13 0 & -tfrac13 & tfrac13 0 & tfrac43 & -tfrac13
(b) A é invertível se, e somente se, aneq1 e aneq-1.

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