Seja A=(cccos theta & -sen theta sen theta & cos theta). Mostre que A^2=(cccos 2 theta & -sen 2 theta sen 2 theta & cos 2 theta). Use induçao para determinar A^n, onde n in N.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de rotação
A= costheta & -sentheta sentheta & costheta
e pede duas coisas: primeiro mostrar que
A^2= cos2theta & -sen2theta sen2theta & cos2theta ,
usando as identidades trigonométricas cos^2theta-sen^2theta=cos2theta e 2costheta,sentheta=sen2theta. Depois, usando indução em ninN, determinar a forma geral de A^n.

Passo 2

Calculemos A^2=Acdot A por multiplicação de matrizes:
A^2 = costheta & -sentheta sentheta & costheta costheta & -sentheta sentheta & costheta = cos^2theta -sen^2theta & -(costheta,sentheta+sentheta,costheta) sentheta,costheta+costheta,sentheta & cos^2theta-sen^2theta
Agora aplicamos as identidades:
cos^2theta-sen^2theta=cos2theta, 2costheta,sentheta=sen2theta
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A^2 = cos2theta & -sen2theta sen2theta & cos2theta

Passo 3

Para a indução, definimos a afirmação P(n):
A^n = cos ntheta & -senntheta senntheta & cos ntheta
Base n=1: claramente A^1=A, que é o caso com n=1.
Passo indutivo: suponha P(k) verdadeira, ou seja
A^k = cos ktheta & -senktheta senktheta & cos ktheta
Então
A^k+1 = A^kcdot A = cos ktheta & -senktheta senktheta & cos ktheta costheta & -sentheta sentheta & costheta
O elemento (1,1) fica
cos kthetacostheta - senktheta,sentheta =cos((k+1)theta)
pela fórmula de soma de ângulos. De modo análogo cada entrada coincide com as fórmulas de cos((k+1)theta) e sen((k+1)theta). Portanto P(k+1) vale. Por indução, P(n) é verdadeira para todo ninN.

Resposta

A^n = cos ntheta & -senntheta senntheta & cos ntheta , ninN

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