Seja
. Mostre que
. Use induçao para determinar
, onde
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz de rotação
e pede duas coisas: primeiro mostrar que
usando as identidades trigonométricas
e
. Depois, usando indução em
, determinar a forma geral de
.
Passo 2
Calculemos
por multiplicação de matrizes:
Agora aplicamos as identidades:
Logo
Passo 3
Para a indução, definimos a afirmação
:
Base
: claramente
, que é o caso com
.
Passo indutivo: suponha verdadeira, ou seja
Passo indutivo: suponha
Então
O elemento
fica
pela fórmula de soma de ângulos. De modo análogo cada entrada coincide com as fórmulas de
e
. Portanto
vale. Por indução,
é verdadeira para todo
.