7 Sejam v1, v2 e v3 os vetores-linha e w1, w2 e w3 os vetores-coluna da matriz (ccc1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9).
Verifique as relações v3=2 v2-v1, w3=2 w2-w1. Escreva w1 e w2 como combinações lineares de v1 e v2 e vice-versa. Conclua que os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz dada geram o mesmo subespaço de R^3.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores-linha
v1,v2,v3 e os vetores-coluna
w1,w2,w3 da matriz
1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9
Queremos verificar as relações de dependência linear indicadas, expressar w1,w2 como combinações lineares de v1,v2 e vice-versa, e concluir que o subespaço gerado pelas linhas coincide com o subespaço gerado pelas colunas em R^3.

Passo 2

Para verificar a primeira relação note que
v1=(1,2,3), v2=(4,5,6), v3=(7,8,9)
Calculando
2v2-v1 =2,(4,5,6)-(1,2,3) =(8-1,,10-2,,12-3) =(7,8,9) =v3
Para as colunas, com
w1=(1,4,7), w2=(2,5,8), w3=(3,6,9),
temos
2w2-w1 =2,(2,5,8)-(1,4,7) =(4-1,,10-4,,16-7) =(3,6,9) =w3

Passo 3

Agora expressamos w1 e w2 como combinações de v1 e v2. Resolvem-se sistemas do tipo
a,v1+b,v2=w1, a,v1+b,v2=w2,
cuja solução é
w1 =tfrac113,v1-tfrac23,v2, w2 =tfrac103,v1-tfrac13,v2

Passo 4

De forma análoga expressamos v1 e v2 em função de w1,w2, resolvendo
a,w1+b,w2=v1, a,w1+b,w2=v2,
e obtém-se
v1 =-tfrac13,w1+tfrac23,w2, v2 =-tfrac103,w1+tfrac113,w2

Passo 5

Como
,w1,w2inspanv1,v2
e
,v1,v2inspanw1,w2,
concluímos que
spanv1,v2 =spanw1,w2,
isto é, os vetores-linha e os vetores-coluna geram o mesmo subespaço de R^3.

Resposta

Os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz dada geram o mesmo subespaço de R^3, que é o plano bidimensional span(1,2,3),(4,5,6).

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