1. É possível encontrar um par de subespaços bidimensionais U e V de R^3 tais que U cap V=0 ? Justifique sua resposta. Interprete geograficamente sua conclusão.
    [Sugestão: sejam u1, u2 e v1, v2 bases para U e V, respectivamente; mostre que u1, u2, v1, v2 São linearmente dependentes.]

Passo 1

O enunciado pergunta se existem dois subespaços de dimensão 2 em R^3, digamos U e V, tais que
Ucap V=0
O conteúdo central aqui é usar o fato de que dimR^3=3 e, portanto, qualquer conjunto de 4 vetores em R^3 é linearmente dependente. Vamos aplicar isso a bases de U e V.

Passo 2

Seja u1,u2 base de U e v1,v2 base de V. São 4 vetores em R^3, logo existem escalares a,b,c,d, nem todos zero, tais que
a,u1 + b,u2 + c,v1 + d,v2 = 0

Passo 3

Não podem ser simultaneamente c=d=0, pois isso forçaria a,u1+b,u2=0 e, como u1,u2 são independentes, implicaria a=b=0, contradizendo que nem todos os coeficientes são zero. Logo pelo menos um de c,d é não nulo. Sem perda de generalidade, digamos que cneq0. Então
v := c,v1 + d,v2 = -l(a,u1 + b,u2r)
Como o lado esquerdo é combinação de v1,v2, temos vin V; como o lado direito é combinação de u1,u2, temos vin U. Além disso, vneq0 (pois cneq0 e v1,v2 é independente). Assim
vin Ucap Ve vneq0

Passo 4

Concluímos que Ucap V contém um vetor não nulo, ou seja, não pode ser apenas 0. Geometricamente, isso significa que dois planos de dimensão 2 passando pela origem em R^3 sempre se intersectam em uma reta (linha) que também passa pela origem.

Resposta

Não é possível ter Ucap V=0; a interseção de dois subespaços bidimensionais de R^3 é sempre uma reta não trivial.

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