- É possível encontrar um par de subespaços bidimensionais
e
de
tais que
? Justifique sua resposta. Interprete geograficamente sua conclusão.
[Sugestão: sejam
e
bases para U e V, respectivamente; mostre que
,
São linearmente dependentes.]
[Sugestão: sejam
Passo 1
O enunciado pergunta se existem dois subespaços de dimensão 2 em
, digamos
e
, tais que
O conteúdo central aqui é usar o fato de que
e, portanto, qualquer conjunto de 4 vetores em
é linearmente dependente. Vamos aplicar isso a bases de
e
.
Passo 2
Seja
base de
e
base de
. São 4 vetores em
, logo existem escalares
, nem todos zero, tais que
Passo 3
Não podem ser simultaneamente
, pois isso forçaria
e, como
são independentes, implicaria
, contradizendo que nem todos os coeficientes são zero. Logo pelo menos um de
é não nulo. Sem perda de generalidade, digamos que
. Então
Como o lado esquerdo é combinação de
, temos
; como o lado direito é combinação de
, temos
. Além disso,
(pois
e
é independente). Assim
Passo 4
Concluímos que
contém um vetor não nulo, ou seja, não pode ser apenas
. Geometricamente, isso significa que dois planos de dimensão 2 passando pela origem em
sempre se intersectam em uma reta (linha) que também passa pela origem.
Resposta
Não é possível ter
; a interseção de dois subespaços bidimensionais de
é sempre uma reta não trivial.