2 - Seja uma coluna de seção transversal retangular vazada. O material do qual é constituída a coluna não oferece resistência à tração. Esta coluna suporta uma carga
de compressão, aplicada sobre o eixo yy, excêntrica de e. Pede-se:
a) A maior excentricidade “e” que pode ser dada a carga (material não resistente à tração);
b) Para esta excentricidade determinar a maior tensão normal de compressão.
a) A maior excentricidade “e” que pode ser dada a carga (material não resistente à tração);
b) Para esta excentricidade determinar a maior tensão normal de compressão.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que vou usar (peguei estes comprimentos da imagem fornecida).
-
O enunciado pede:
a) A maior excentricidadeque a carga pode ter, se o material não suporta tração.
b) Para essa excentricidade, a maior tensão normal de compressão no contorno da seção. -
Dados fornecidos (extraídos da imagem):
- Carga:
. - Seção transversal: seção retangular vazada (retângulo exterior menos retângulo interior). Das medidas da figura:
- Retângulo exterior: largura (na direção do deslocamento
) (unidades de comprimento do desenho) e altura . - Retângulo interior (vazio): largura
e altura . - Logo, espessura das paredes indicada é
(consistentemente com as medidas acima).
- Retângulo exterior: largura (na direção do deslocamento
- O eixo da carga é paralelo ao eixo que passa pelo centro da seção; a carga está excêntrica de
na direção horizontal (ou seja, provoca um momento em torno do eixo central).
- Carga:
(Observação: explicitamente peguei as quatro dimensões
da imagem.)
Passo 2
Conceito físico e fórmula fundamental (explicação didática e passo a passo).
- Quando uma força axial
age com uma excentricidade , a distribuição de tensões normais na seção é soma da tensão uniforme de compressão devido a e da tensão linear de flexão devido ao momento . - A expressão da tensão normal em um ponto cuja coordenada (na direção da excentricidade) seja
medida a partir do centróide é:
onde:
-
é a área da seção resistente (área externa menos área do vazio); -
é o momento provocado pela excentricidade; -
é o momento de inércia da seção (sobre o eixo que passa pelo centróide e é perpendicular à direção ); -
é a coordenada do ponto medida a partir do centróide (positivo para o lado onde o momento aumenta a compressão). - Como o material não resiste à tração, não pode haver pontos com
(se adotarmos compressão como positiva). Portanto a condição de admissibilidade é que a menor tensão na seção seja maior ou igual a zero:
- Para uma seção simétrica em torno do centróide, os extremos laterais estão a
(lado comprimido) e (lado que pode entrar em tração). O valor crítico é no extremo distante (lado que tenderia a tração). Assim, para não haver tração impomos
- Substituindo
e isolando obtemos a condição para a máxima excentricidade admissível:
- Portanto a maior excentricidade admissível (caso limite em que a face distante fica com
) é
- Observação útil: no caso limite acima a tensão máxima do lado comprimido será
Isto é, no caso limite a fibra mais comprimida tem o dobro da tensão média
. Isso simplifica muito o cálculo do item (b).
Passo 3
Calcular as propriedades geométricas da seção (usei as dimensões que peguei da imagem).
- Área da seção:
Substituindo
:
(As unidades são as unidades de área correspondentes às unidades de comprimento do desenho.)
- Momento de inércia em relação ao eixo cental paralelo a
(momento de inércia que entra na flexão pela excentricidade na direção do comprimento ):
A fórmula do momento de inércia de um retângulo de base(na direção ) e altura (na direção perpendicular) em torno do seu eixo centroidal paralelo à altura é
Para a seção vazada:
Substituindo os números:
Vamos arredondar para poucas casas úteis:
- Distância do centróide até a fibra extrema na direção da excentricidade:
A seção é simétrica, então
Passo 4
Calcular a maior excentricidade
usando
Substituindo os valores numéricos:
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Calcular a maior tensão normal de compressão para essa excentricidade.
- Como mostrado no Passo 2, no caso limite (quando a face distante fica com
) a tensão máxima na fibra próxima vale
- Calcule
:
- Logo
Arredondando:
Passo 6
Interpretação final curta (motivo físico): quando a excentricidade atinge
a distribuição de tensão é triangular na direção do deslocamento: zero no extremo longe (não há tração) e o dobro da média no extremo próximo; para excentricidades maiores surgiria tensão de tração em parte da seção, o que não é permitido pelo material.
Resposta
a)
(unidades de comprimento do desenho)
b)
b)