2 - Seja uma coluna de seção transversal retangular vazada. O material do qual é constituída a coluna não oferece resistência à tração. Esta coluna suporta uma carga \mathrm{P}=20.000 \mathrm{Kgf} de compressão, aplicada sobre o eixo yy, excêntrica de e. Pede-se:
a) A maior excentricidade “e” que pode ser dada a carga (material não resistente à tração);
b) Para esta excentricidade determinar a maior tensão normal de compressão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que vou usar (peguei estes comprimentos da imagem fornecida).
  • O enunciado pede:
    a) A maior excentricidade e que a carga P pode ter, se o material não suporta tração.
    b) Para essa excentricidade, a maior tensão normal de compressão no contorno da seção.
  • Dados fornecidos (extraídos da imagem):
    • Carga: P=20\,000\\ \mathrm{Kgf}.
    • Seção transversal: seção retangular vazada (retângulo exterior menos retângulo interior). Das medidas da figura:
      • Retângulo exterior: largura (na direção do deslocamento e) b_{o}=50 (unidades de comprimento do desenho) e altura h_{o}=30.
      • Retângulo interior (vazio): largura b_{i}=40 e altura h_{i}=20.
      • Logo, espessura das paredes indicada é 5 (consistentemente com as medidas acima).
    • O eixo da carga é paralelo ao eixo que passa pelo centro da seção; a carga está excêntrica de e na direção horizontal (ou seja, provoca um momento M=P\,e em torno do eixo central).
(Observação: explicitamente peguei as quatro dimensões 50,\;40,\;30,\;20 da imagem.)

Passo 2

Conceito físico e fórmula fundamental (explicação didática e passo a passo).
  • Quando uma força axial P age com uma excentricidade e, a distribuição de tensões normais na seção é soma da tensão uniforme de compressão devido a P e da tensão linear de flexão devido ao momento M=P\,e.
  • A expressão da tensão normal em um ponto cuja coordenada (na direção da excentricidade) seja x medida a partir do centróide é:
\sigma(x)=\frac{P}{A}+\frac{M\,x}{I},
onde:
  • A é a área da seção resistente (área externa menos área do vazio);
  • M=P\,e é o momento provocado pela excentricidade;
  • I é o momento de inércia da seção (sobre o eixo que passa pelo centróide e é perpendicular à direção x);
  • x é a coordenada do ponto medida a partir do centróide (positivo para o lado onde o momento aumenta a compressão).
  • Como o material não resiste à tração, não pode haver pontos com \sigma<0 (se adotarmos compressão como positiva). Portanto a condição de admissibilidade é que a menor tensão na seção seja maior ou igual a zero:
\min_{x\in\text{seção}}\sigma(x)\ge 0.çã
  • Para uma seção simétrica em torno do centróide, os extremos laterais estão a x=+c (lado comprimido) e x=-c (lado que pode entrar em tração). O valor crítico é no extremo distante (lado que tenderia a tração). Assim, para não haver tração impomos
\sigma(-c)=\frac{P}{A}+\frac{M(-c)}{I}=\frac{P}{A}-\frac{M\,c}{I}\ge 0.
  • Substituindo M=P\,e e isolando e obtemos a condição para a máxima excentricidade admissível:
\frac{P}{A}-\frac{P\,e\,c}{I}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad e\le\frac{I}{A\,c}.
  • Portanto a maior excentricidade admissível (caso limite em que a face distante fica com \sigma=0) é
e_{\max}=\frac{I}{A\,c}.
  • Observação útil: no caso limite acima a tensão máxima do lado comprimido será
\sigma_{\max}=\sigma(+c)=\frac{P}{A}+\frac{P\,e_{\max}\,c}{I}=\frac{P}{A}+\frac{P}{A}=2\frac{P}{A}.
Isto é, no caso limite a fibra mais comprimida tem o dobro da tensão média P/A. Isso simplifica muito o cálculo do item (b).

Passo 3

Calcular as propriedades geométricas da seção (usei as dimensões que peguei da imagem).
  • Área da seção:
A = b_{o}h_{o}-b_{i}h_{i}.
Substituindo b_{o}=50,\;h_{o}=30,\;b_{i}=40,\;h_{i}=20:
A = 50\cdot30-40\cdot20 = 1500-800 = 700.
(As unidades são as unidades de área correspondentes às unidades de comprimento do desenho.)
  • Momento de inércia em relação ao eixo cental paralelo a h (momento de inércia que entra na flexão pela excentricidade na direção do comprimento b):
    A fórmula do momento de inércia de um retângulo de base b (na direção x) e altura h (na direção perpendicular) em torno do seu eixo centroidal paralelo à altura é
I_{\text{ret}}=\frac{h\,b^{3}}{12}.
Para a seção vazada:
I = I_{o}-I_{i}=\frac{h_{o}\,b_{o}^{3}}{12}-\frac{h_{i}\,b_{i}^{3}}{12} =\frac{1}{12}\bigl(h_{o}b_{o}^{3}-h_{i}b_{i}^{3}\bigr).
Substituindo os números:
h_{o}b_{o}^{3}=30\cdot50^{3}=30\cdot125000=3\,750\,000,
h_{i}b_{i}^{3}=20\cdot40^{3}=20\cdot64\,000=1\,280\,000,
I=\frac{3\,750\,000-1\,280\,000}{12}=\frac{2\,470\,000}{12}=205\,833{,}333\ldots
Vamos arredondar para poucas casas úteis:
I\approx205\,833{,}33\\ (\text{unidades de comprimento}^4).
  • Distância do centróide até a fibra extrema na direção da excentricidade:
    A seção é simétrica, então
c=\frac{b_{o}}{2}=\frac{50}{2}=25.

Passo 4

Calcular a maior excentricidade e_{\max} usando
e_{\max}=\frac{I}{A\,c}.
Substituindo os valores numéricos:
e_{\max}=\frac{205\,833{,}33}{700\cdot25}=\frac{205\,833{,}33}{17\,500}=11{,}76190476\ldots
Arredondando razoavelmente:
e_{\max}\approx 11{,}76\\ (\text{unidades de comprimento do desenho}).

Passo 5

Calcular a maior tensão normal de compressão para essa excentricidade.
  • Como mostrado no Passo 2, no caso limite (quando a face distante fica com \sigma=0) a tensão máxima na fibra próxima vale
\sigma_{\max}=2\frac{P}{A}.
  • Calcule P/A:
\frac{P}{A}=\frac{20\,000}{700}=28{,}57142857\ldots\\ \mathrm{Kgf/unidade\\ de\\ área}.á
  • Logo
\sigma_{\max}=2\cdot28{,}57142857\ldots=57{,}14285714\ldots
Arredondando:
\sigma_{\max}\approx 57{,}14\\ \mathrm{Kgf/\,(unidade\\ de\\ área)}.á

Passo 6

Interpretação final curta (motivo físico): quando a excentricidade atinge e_{\max} a distribuição de tensão é triangular na direção do deslocamento: zero no extremo longe (não há tração) e o dobro da média no extremo próximo; para excentricidades maiores surgiria tensão de tração em parte da seção, o que não é permitido pelo material.

Resposta

a) e_{\max}=11{,}76 (unidades de comprimento do desenho)
b) \sigma_{\max}=57{,}14\\ \mathrm{Kgf/(\text{unidade de área})}á

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