Seja um condutor cilíndrico de raio a=2 \mathrm{~mm} conduzindo uma corrente constante I=10 A no sentido \hat{a}_{z}, cuja densidade de corrente \vec{J} é constante no interior do condutor (corrente uniformemente distribuída). Determine \vec{H} em:
\rho=1 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Raio do condutor: a=2\\ \mathrm{mm}.
  • Corrente total que percorre o fio: I=10\\ \mathrm{A}, no sentido \hat a_{z}.
  • A densidade de corrente \vec J é constante dentro do condutor (corrente uniformemente distribuída).
  • Pede-se \vec H no ponto com coordenada radial \rho=1\\ \mathrm{mm}.
Resumo do que precisamos encontrar: calcular o campo \vec H no interior do fio a uma distância radial \rho=1\\ \mathrm{mm} do eixo.

Passo 2

Qual lei física usar e por quê (intuição didática):
  • Para problemas com simetria cilíndrica e correntes que fluem ao longo do eixo (sentido \hat a_z), o campo magnético (ou campo \vec H) forma linhas circulares em torno do eixo. A simetria indica que \vec H só tem componente azimutal, ou seja \vec H = H_{\varphi}(\rho)\,\hat a_{\varphi}, e que H_{\varphi} depende apenas de \rho.
  • A ferramenta matemática que liga a circulação de \vec H a correntes é a Lei de Ampère (forma integral):
\oint \vec H\cdot d\vec l = I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total atravessada pela superfície delimitada pela curva de integração. Vou usar um laço circular de raio \rho coaxial com o fio (por causa da simetria).

Passo 3

Expressar a densidade de corrente uniforme \vec J e calcular seu valor (em forma simbólica):
  • A área da seção transversal do condutor é \pi a^{2}.
  • Se \vec J é uniforme e o total de corrente é I, então a magnitude de \vec J vale
J=\frac{I}{\pi a^{2}}.
Aqui J tem unidades de \mathrm{A/m^{2}}. Não fiz ainda substituição numérica; é importante manter a forma simbólica para simplificar depois.

Passo 4

Corrente contida dentro do círculo de raio \rho (corrente cercada por nossa curva de Ampère):
  • A área do círculo de raio \rho é \pi \rho^{2}.
  • Como a densidade é uniforme, a corrente dentro dessa área é
I_{\text{enc}} = J\cdot \pi \rho^{2}.
  • Substituindo J encontrado no passo anterior:
I_{\text{enc}} = \left(\frac{I}{\pi a^{2}}\right)\pi \rho^{2} = I\frac{\rho^{2}}{a^{2}}.
Isso faz sentido físico: para \rho=a recupera-se I_{\text{enc}}=I; para \rho=0 temos I_{\text{enc}}=0.

Passo 5

Aplicar a Lei de Ampère ao laço circular de raio \rho:
  • No laço circular, \vec H é tangente e de módulo constante H_{\varphi}(\rho). O elemento de comprimento vale d\vec l = \rho\, d\varphi\, \hat a_{\varphi}. Então a integral de linha é
\oint \vec H\cdot d\vec l = H_{\varphi}(\rho) \cdot (2\pi \rho).
  • Igualando ao I_{\text{enc}}:
H_{\varphi}(\rho)\cdot (2\pi \rho) = I_{\text{enc}} = I\frac{\rho^{2}}{a^{2}}.
  • Isolando H_{\varphi}(\rho):
H_{\varphi}(\rho) = \frac{I}{2\pi \rho}\cdot\frac{\rho^{2}}{a^{2}} = \frac{I\,\rho}{2\pi a^{2}}.
Portanto, em forma vetorial, para \rho dentro do condutor:
\vec H(\rho)=\frac{I\,\rho}{2\pi a^{2}}\,\hat a_{\varphi}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos (cuidando das unidades):
  • Converter milímetros para metros: \rho=1\\ \mathrm{mm}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, a=2\\ \mathrm{mm}=2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Usar a expressão H_{\varphi}=\dfrac{I\,\rho}{2\pi a^{2}}:
H_{\varphi}=\frac{10\cdot(1\times10^{-3})}{2\pi\,(2\times10^{-3})^{2}}.
  • Calcular passo a passo:
(2\times10^{-3})^{2}=4\times10^{-6},
2\pi\cdot 4\times10^{-6}=8\pi\times10^{-6}\approx 2{,}51327\times10^{-5},
\frac{10\times10^{-3}}{2{,}51327\times10^{-5}}=\frac{0{,}01}{2{,}51327\times10^{-5}}\approx 397{,}9\\ \mathrm{A/m}.
Arredondando de forma razoável:
H_{\varphi}\approx 398\\ \mathrm{A/m}.

Passo 7

Direção e sentido de \vec H:
  • Como a corrente está no sentido \hat a_{z} (para cima), o campo \vec H circula em torno do eixo segundo a regra da mão direita; o sentido indicado por \hat a_{\varphi} positivo depende da convenção, mas aqui escrevemos a direção como \hat a_{\varphi} (ou seja, tangencial no sentido dado pela regra da mão direita).

Resposta

\displaystyle \vec H(\rho)=\frac{I\,\rho}{2\pi a^{2}}\,\hat a_{\varphi}
\displaystyle \vec H( \rho=1\\ \mathrm{mm})\approx 398\\ \hat a_{\varphi}\\ \mathrm{A/m}

Exercícios relacionados