Seja um condutor cilíndrico de raio
conduzindo uma corrente constante
A no sentido
, cuja densidade de corrente
é constante no interior do condutor (corrente uniformemente distribuída). Determine
em:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Raio do condutor:
. - Corrente total que percorre o fio:
, no sentido . - A densidade de corrente
é constante dentro do condutor (corrente uniformemente distribuída). - Pede-se
no ponto com coordenada radial .
Resumo do que precisamos encontrar: calcular o campo
no interior do fio a uma distância radial
do eixo.
Passo 2
Qual lei física usar e por quê (intuição didática):
- Para problemas com simetria cilíndrica e correntes que fluem ao longo do eixo (sentido
), o campo magnético (ou campo ) forma linhas circulares em torno do eixo. A simetria indica que só tem componente azimutal, ou seja , e que depende apenas de . - A ferramenta matemática que liga a circulação de
a correntes é a Lei de Ampère (forma integral):
onde
é a corrente total atravessada pela superfície delimitada pela curva de integração. Vou usar um laço circular de raio
coaxial com o fio (por causa da simetria).
Passo 3
Expressar a densidade de corrente uniforme
e calcular seu valor (em forma simbólica):
- A área da seção transversal do condutor é
. - Se
é uniforme e o total de corrente é , então a magnitude de vale
Aqui
tem unidades de
. Não fiz ainda substituição numérica; é importante manter a forma simbólica para simplificar depois.
Passo 4
Corrente contida dentro do círculo de raio
(corrente cercada por nossa curva de Ampère):
- A área do círculo de raio
é . - Como a densidade é uniforme, a corrente dentro dessa área é
- Substituindo
encontrado no passo anterior:
Isso faz sentido físico: para
recupera-se
; para
temos
.
Passo 5
Aplicar a Lei de Ampère ao laço circular de raio
:
- No laço circular,
é tangente e de módulo constante . O elemento de comprimento vale . Então a integral de linha é
- Igualando ao
:
- Isolando
:
Portanto, em forma vetorial, para
dentro do condutor:
Passo 6
Substituir os valores numéricos (cuidando das unidades):
- Converter milímetros para metros:
, . - Usar a expressão
:
- Calcular passo a passo:
Arredondando de forma razoável:
Passo 7
Direção e sentido de
:
- Como a corrente está no sentido
(para cima), o campo circula em torno do eixo segundo a regra da mão direita; o sentido indicado por positivo depende da convenção, mas aqui escrevemos a direção como (ou seja, tangencial no sentido dado pela regra da mão direita).