Um filamento condutor é percorrido por uma corrente I do ponto A=(0,0, a) até o ponto B=(0,0, b). Demonstre que no ponto P=(x, y, 0) :
\vec{H}=\frac{I}{4 \pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\left[\frac{b}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+b^{2}}}-\frac{a}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}\right] \hat{a}_{\varphi}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a demonstração do resultado indicado:
  • Um filamento condutor (fio) retilíneo localizado no eixo z é percorrido por uma corrente constante I do ponto A=(0,0,a) até o ponto B=(0,0,b).
  • O ponto onde se quer o campo é P=(x,y,0).
  • A expressão a ser demonstrada é
\vec{H}=\frac{I}{4 \pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\left[\frac{b}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+b^{2}}}-\frac{a}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}\right] \hat{a}_{\varphi}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • As coordenadas dos elementos de corrente variam apenas em z entre z=a e z=b.
  • O ponto P tem coordenadas z_P=0 e distância radial ao eixo z igual a \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O resultado esperado aponta que \vec{H} é azimutal (na direção \hat{a}_{\varphi}) e tem módulo dado pela expressão entre colchetes dividida por 4\pi\rho vezes I.

Passo 2

Escolhemos usar a lei de Biot–Savart (forma para \vec{H}) para calcular o campo magnético gerado por um elemento de corrente. A forma vetorial que vamos usar é
\mathrm{d}\vec{H}=\frac{I}{4\pi}\frac{\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{r}}{r^{3}},
onde:
  • \mathrm{d}\vec{\ell} é o vetor elemento de comprimento na direção da corrente (apontando de A para B),
  • \vec{r}=\vec{r_P}-\vec{r'} é o vetor que vai do elemento de corrente (posição \vec{r'}) até o ponto de campo \vec{r_P},
  • r=\|\vec{r}\| é a distância entre o elemento e o ponto P.
Explicação didática do porquê: a lei de Biot–Savart dá contribuição infinitesimal do campo magnético de cada pequena parcela do fio com corrente; somando (integrando) essas contribuições ao longo do fio obtemos o campo total. Aqui o fio é retilíneo ao longo de z, então a integral será unidimensional em z.

Passo 3

Parametrização do fio e do ponto de campo:
  • Tome um elemento de corrente localizado em \vec{r'}=(0,0,z') com z' variando de a até b.
  • O elemento de comprimento é \mathrm{d}\vec{\ell} = \hat{z}\,\mathrm{d}z' (vetor na direção +z se a corrente vai de a para b).
  • O ponto de campo é \vec{r_P}=(x,y,0).
  • O vetor que vai do elemento até P é
\vec{r}=\vec{r_P}-\vec{r'}=x\hat{x}+y\hat{y}-z'\hat{z}.
  • A distância entre o elemento e P é
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+{z'}^{2}}.
  • Definimos a distância radial ao eixo z
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Observação: \rho é positivo e independente de z'.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{r}:
  • Substituindo \mathrm{d}\vec{\ell}=\hat{z}\,\mathrm{d}z' e \vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}-z'\hat{z}:
\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{r} = \hat{z}\times(x\hat{x}+y\hat{y}-z'\hat{z})\,\mathrm{d}z'.
  • Como \hat{z}\times\hat{z}=0, o termo com -z'\hat{z} some, sobrando
\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{r} = \big(\hat{z}\times x\hat{x} + \hat{z}\times y\hat{y}\big)\mathrm{d}z' = (x\hat{y} - y\hat{x})\,\mathrm{d}z'.
  • Agora expressamos isso em termos do versor azimutal \hat{a}_{\varphi}. Lembrando que, em coordenadas cilíndricas com \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e \varphi tal que x=\rho\cos\varphi, y=\rho\sin\varphi,
\hat{a}_{\varphi} = -\sin\varphi\,\hat{x}+\cos\varphi\,\hat{y}.
Multiplicando \rho\hat{a}_{\varphi} obtemos
\rho\hat{a}_{\varphi} = \rho(-\sin\varphi\,\hat{x}+\cos\varphi\,\hat{y}) = -y\hat{x}+x\hat{y} = x\hat{y}-y\hat{x}.
Portanto
\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{r} = \rho\,\hat{a}_{\varphi}\,\mathrm{d}z'.
Interpretação: a contribuição de cada elemento de corrente aponta na direção azimutal \hat{a}_{\varphi}, como esperado pela simetria ao redor do eixo z.

Passo 5

Escrever \mathrm{d}\vec{H} substituindo o resultado do produto vetorial:
  • Pela Biot–Savart,
\mathrm{d}\vec{H}=\frac{I}{4\pi}\frac{\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{r}}{r^{3}} =\frac{I}{4\pi}\frac{\rho\,\hat{a}_{\varphi}\,\mathrm{d}z'}{\big(\rho^{2}+{z'}^{2}\big)^{3/2}}.
Observação: aqui r^{3}=(\rho^{2}+{z'}^{2})^{3/2}.

Passo 6

Integrar ao longo do fio desde z'=a até z'=b para obter \vec{H}:
\vec{H}=\int_{z'=a}^{z'=b}\mathrm{d}\vec{H} =\frac{I\,\rho\,\hat{a}_{\varphi}}{4\pi}\int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}z'}{\big(\rho^{2}+{z'}^{2}\big)^{3/2}}.
Portanto o problema reduz-se ao cálculo da integral
\int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}z'}{\big(\rho^{2}+{z'}^{2}\big)^{3/2}}.

Passo 7

Calcular a integral indefinida. Uma forma de obter a primitiva é usar a substituição trigonométrica \,z'=\rho\tan\theta (ou lembrar da integral padrão). Faço a conta rápida com a substituição:
  • Tome z'=\rho\tan\theta. Então \mathrm{d}z'=\rho\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta.
  • Também \rho^{2}+{z'}^{2}=\rho^{2}(1+\tan^{2}\theta)=\rho^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta.
  • Logo
\frac{\mathrm{d}z'}{(\rho^{2}+{z'}^{2})^{3/2}} =\frac{\rho\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta}{\big(\rho^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\big)^{3/2}} =\frac{\rho\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta}{\rho^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta} =\frac{\mathrm{d}\theta}{\rho^{2}\operatorname{sec}\theta} =\frac{\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\rho^{2}}.
  • A primitiva em termos de \theta é
\int\frac{\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\rho^{2}}=\frac{\sin\theta}{\rho^{2}}+C.
  • Voltando para z': como \sin\theta=\dfrac{z'}{\sqrt{\rho^{2}+{z'}^{2}}}, obtemos a primitiva
\int\frac{\mathrm{d}z'}{(\rho^{2}+{z'}^{2})^{3/2}} =\frac{z'}{\rho^{2}\sqrt{\rho^{2}+{z'}^{2}}}+C.
(Verificação alternativa: derivando \dfrac{z'}{\rho^{2}\sqrt{\rho^{2}+{z'}^{2}}} retorna o integrando.)

Passo 8

Aplicar os limites de integração a e b:
\int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}z'}{(\rho^{2}+{z'}^{2})^{3/2}} =\left.\frac{z'}{\rho^{2}\sqrt{\rho^{2}+{z'}^{2}}}\right|_{a}^{b} =\frac{b}{\rho^{2}\sqrt{\rho^{2}+b^{2}}}-\frac{a}{\rho^{2}\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}}.
Substituindo na expressão de \vec{H} do Passo 6:
\vec{H}=\frac{I\,\rho\,\hat{a}_{\varphi}}{4\pi}\left(\frac{b}{\rho^{2}\sqrt{\rho^{2}+b^{2}}}-\frac{a}{\rho^{2}\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}}\right).
Simplificando \rho/\rho^{2}=1/\rho obtemos
\vec{H}=\frac{I}{4\pi\rho}\left(\frac{b}{\sqrt{\rho^{2}+b^{2}}}-\frac{a}{\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}}\right)\hat{a}_{\varphi}.

Passo 9

Reescrevendo \rho em termos de x e y (já que \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}), obtemos exatamente a expressão pedida:
\vec{H}=\frac{I}{4 \pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\left[\frac{b}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+b^{2}}}-\frac{a}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}\right] \hat{a}_{\varphi}.
Comentário final (didático e útil para prova): a direção azimutal \hat{a}_{\varphi} vem da regra da mão direita aplicada ao produto \mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{r}. O cálculo não depende do sinal de x e y separadamente, apenas de \rho e da direção \hat{a}_{\varphi}. Para um fio infinito (limites -\infty a +\infty) essa expressão reduz ao conhecido resultado \vec{H}=\dfrac{I}{2\pi\rho}\hat{a}_{\varphi}.

Resposta

\vec{H}=\frac{I}{4 \pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\left[\frac{b}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+b^{2}}}-\frac{a}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}\right] \hat{a}_{\varphi}

Exercícios relacionados