As coordenadas dos elementos de corrente variam apenas em z entre z=a e z=b.
O ponto P tem coordenadas z_P=0 e distância radial ao eixo z igual a \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O resultado esperado aponta que \vec{H} é azimutal (na direção \hat{a}_{\varphi}) e tem módulo dado pela expressão entre colchetes dividida por 4\pi\rho vezes I.
Passo 2
Escolhemos usar a lei de Biot–Savart (forma para \vec{H}) para calcular o campo magnético gerado por um elemento de corrente. A forma vetorial que vamos usar é
\mathrm{d}\vec{\ell} é o vetor elemento de comprimento na direção da corrente (apontando de A para B),
\vec{r}=\vec{r_P}-\vec{r'} é o vetor que vai do elemento de corrente (posição \vec{r'}) até o ponto de campo \vec{r_P},
r=\|\vec{r}\| é a distância entre o elemento e o ponto P.
Explicação didática do porquê: a lei de Biot–Savart dá contribuição infinitesimal do campo magnético de cada pequena parcela do fio com corrente; somando (integrando) essas contribuições ao longo do fio obtemos o campo total. Aqui o fio é retilíneo ao longo de z, então a integral será unidimensional em z.
Passo 3
Parametrização do fio e do ponto de campo:
Tome um elemento de corrente localizado em \vec{r'}=(0,0,z') com z' variando de a até b.
O elemento de comprimento é \mathrm{d}\vec{\ell} = \hat{z}\,\mathrm{d}z' (vetor na direção +z se a corrente vai de a para b).
Agora expressamos isso em termos do versor azimutal \hat{a}_{\varphi}. Lembrando que, em coordenadas cilíndricas com \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e \varphi tal que x=\rho\cos\varphi, y=\rho\sin\varphi,
Interpretação: a contribuição de cada elemento de corrente aponta na direção azimutal \hat{a}_{\varphi}, como esperado pela simetria ao redor do eixo z.
Passo 5
Escrever \mathrm{d}\vec{H} substituindo o resultado do produto vetorial:
Calcular a integral indefinida. Uma forma de obter a primitiva é usar a substituição trigonométrica \,z'=\rho\tan\theta (ou lembrar da integral padrão). Faço a conta rápida com a substituição:
Tome z'=\rho\tan\theta. Então \mathrm{d}z'=\rho\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta.
Também \rho^{2}+{z'}^{2}=\rho^{2}(1+\tan^{2}\theta)=\rho^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta.
Comentário final (didático e útil para prova): a direção azimutal \hat{a}_{\varphi} vem da regra da mão direita aplicada ao produto \mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{r}. O cálculo não depende do sinal de x e y separadamente, apenas de \rho e da direção \hat{a}_{\varphi}. Para um fio infinito (limites -\infty a +\infty) essa expressão reduz ao conhecido resultado \vec{H}=\dfrac{I}{2\pi\rho}\hat{a}_{\varphi}.