Duas espiras de corrente idênticas têm seus centros em ( 0,0,0 ) e ( 0,0,4 ), e seus eixos ao longo do eixo z (de modo a formar uma bobina de Helmholtz). Se cada espira tem um raio de 2 m e é percorrida por uma corrente de 5A em \hat{a}_{\varphi}), calcule \vec{H} em:
(0,0,0) \mathrm{m}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • Duas espiras circulares idênticas com centros em (0,0,0) e (0,0,4).
    • Eixos das espiras ao longo do eixo z (espiras no plano xy).
    • Raio de cada espira: \displaystyle a=2\\ \mathrm{m}.
    • Corrente em cada espira: \displaystyle I=5\\ \mathrm{A}, no sentido de \hat{a}_{\varphi} (isto é, sentido azimutal positivo).
  • Pedido:
    • Calcular \vec{H} no ponto (0,0,0)\\ \mathrm{m} (o centro da espira que está em z=0).

Passo 2

Interpretação do sentido da corrente e direção do campo no eixo.
  • A unidade \hat{a}_{\varphi} indica corrente que circula no sentido azimutal positivo (quando se olha do eixo +z a corrente é contrária ao ponteiro do relógio — sentido “ccw”). Pelo regra da mão direita, essa corrente produz um campo magnético ao longo do eixo z apontando em +z.
  • Portanto ambas as espiras, tendo a mesma corrente no mesmo sentido, produzem componentes de \vec{H} ao longo de +z no ponto (0,0,0). Assim podemos somar as componentes H_z geradas por cada espira.

Passo 3

Fórmula do campo axial de uma espira circular e significado das variáveis.
  • Resultado conhecido (deriva-se da lei de Biot–Savart integrando sobre a espira): o campo magnético no eixo de uma espira de raio a, percorrida por corrente I, no ponto situado a uma distância x do centro da espira ao longo do eixo é
\vec{B}(x) = \frac{\mu_{0} I a^{2}}{2\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3/2}}\,\hat{a}_{z},
onde
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}),
  • I é a corrente na espira,
  • a é o raio da espira,
  • x é a distância ao longo do eixo desde o centro da espira até o ponto onde se calcula \vec{B},
  • \hat{a}_{z} é a direção do eixo.
  • Em vácuo temos a relação \vec{B}=\mu_{0}\vec{H}. Logo a componente H_z no eixo é
H_{z}(x)=\frac{I a^{2}}{2\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3/2}}.
  • Aqui a unidade de H é \mathrm{A/m}.
Observação didática curta sobre por que só aparece \hat{a}_z: por simetria da espira, as componentes transversais do campo se cancelam e permanece apenas a componente ao longo do eixo da espira.

Passo 4

Aplicar a fórmula para a espira centrada em (0,0,0).
  • Para a espira de centro em z=0, o ponto onde queremos \vec{H} é justamente o centro da espira, ou seja x=0.
  • Substituindo x=0 em H_{z}(x):
H_{z,\text{espira em }0}=\frac{I a^{2}}{2\left(a^{2}+0^{2}\right)^{3/2}}=\frac{I a^{2}}{2 a^{3}}=\frac{I}{2a}.
  • Com os valores numéricos \displaystyle I=5\\ \mathrm{A} e \displaystyle a=2\\ \mathrm{m}:
H_{z,\text{espira em }0}=\frac{5}{2\cdot 2}=\frac{5}{4}=1{,}25\\ \mathrm{A/m}.

Passo 5

Aplicar a fórmula para a espira centrada em (0,0,4), calculando sua contribuição no ponto (0,0,0).
  • A distância ao longo do eixo entre o centro da espira em z=4 e o ponto em z=0 é \displaystyle x=4\\ \mathrm{m}.
  • Portanto
H_{z,\text{espira em }4}=\frac{I a^{2}}{2\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3/2}} =\frac{I a^{2}}{2\left(a^{2}+4^{2}\right)^{3/2}}.
  • Substituindo a=2 e I=5:
H_{z,\text{espira em }4}=\frac{5\cdot 2^{2}}{2\left(2^{2}+4^{2}\right)^{3/2}} =\frac{20}{2\left(4+16\right)^{3/2}}=\frac{20}{2\cdot 20^{3/2}}.
  • Simplificando 20^{3/2}=20\sqrt{20}=40\sqrt{5}, obtém-se
H_{z,\text{espira em }4}=\frac{20}{2\cdot 40\sqrt{5}}=\frac{20}{80\sqrt{5}}=\frac{1}{4\sqrt{5}}.
  • Valor numérico: \sqrt{5}\approx 2{,}23607, logo
H_{z,\text{espira em }4}\approx\frac{1}{4\cdot 2{,}23607}\approx 0{,}1118\\ \mathrm{A/m}.

Passo 6

Somar as contribuições (as direções são ambas +z) e obter \vec{H} total em (0,0,0).
  • Soma:
H_{z,\text{total}}=H_{z,\text{espira em }0}+H_{z,\text{espira em }4} =\frac{I}{2a}+\frac{I a^{2}}{2\left(a^{2}+4^{2}\right)^{3/2}}.
  • Substituindo os valores numéricos ou usando as formas simplificadas já obtidas:
H_{z,\text{total}}=\frac{5}{4}+\frac{1}{4\sqrt{5}} =\frac{5+\dfrac{1}{\sqrt{5}}}{4}.
  • Valor numérico:
H_{z,\text{total}}\approx 1{,}25 + 0{,}1118 = 1{,}3618\\ \mathrm{A/m}.
  • Assim o vetor campo \vec{H} no ponto (0,0,0) é dirigido ao longo de +z: \vec{H}=H_{z,\text{total}}\,\hat{a}_{z}.

Resposta

\displaystyle \vec{H}(0,0,0)=\left(\frac{5}{4}+\frac{1}{4\sqrt{5}}\right)\hat{a}_{z}\\ \mathrm{A/m}\approx 1{,}3618\\ \hat{a}_{z}\\ \mathrm{A/m}

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