Seja um condutor sólido de raio a com uma densidade de corrente dada por J=k rho^2 z. Considere os itens a seguir.
b) Obtenha uma expressão para a energia magnética por unidade de comprimento no entorno do condutor em função da coordenada radial rho.

Passo 1

Beleza, então o exercício tá pedindo a energia magnética por unidade de comprimento “no entorno” de um fio (ou condutor) de raio , considerando a região externa ao fio, e quer essa energia até uma certa distância radial . O conteúdo aqui é Magnetostática: a gente vai precisar
  1. Calcular o campo magnético fora do condutor, usando a lei de Ampère.
  2. Usar a densidade de energia magnética .
  3. Integrar essa densidade de energia na área anular de raio até .

Passo 2

Primeiro, precisamos do campo I = integral0^a J,dA = integral0^a k,rho'^2,l(2pirho',drho'r) = 2pi k integral0^a rho'^3,drho' = 2pi k ,a^44 = pi k a^42 fora do fio. Para isso, calculamos a corrente total que atravessa a seção do condutor (já fizemos o item a, mas vamos recapitular):

Passo 3

Agora, usamos a lei de Ampère para oint Bcdot dell = B(rho),(2pirho) = mu0,I = mu0,pi k a^42 . Num círculo de raio B(rho) = mu02pirho,pi k a^42 = mu0,k,a^44,rho, ,
Logo
no sentido azimutal .

Passo 4

A densidade de energia magnética é
u(rho') = B(rho')^22mu0 = 12mu0,gl(mu0,k,a^44rho'gr)^2 = mu0,k^2,a^832,rho'^2
Para achar a energia por unidade de comprimento no anel entre Uell = integrala^rho u(rho'),l(2pirho',drho'r) = integrala^rho mu0,k^2,a^832,rho'^2 ,2pirho',drho' = mu0,k^2,a^8,pi16 integrala^rhodrho'rho' e , integramos em área (por comprimento unitário, a “espessura” é e o arco é ):
A integral de , então

Resposta

boxed Uell = pi,mu0,k^2,a^816;ln!gl(rhoagr)

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