Seja um cabo coaxial muito longo constituído de um condutor interno sólido de raio a, duas camadas de materiais distintos que se estendem de a e b, caracterizados, respectivamente, por mu1 e mu2, e um condutor externo (de retorno) de espessura desprezível. Considere os itens a seguir.
b) Considerando mur 1=5, mur 2=10, a=1 cm, b=2 cm, c=3 cm, e que uma corrente CC de 10 A circula pelo cabo, apresente um gráfico de B em função de rho para 0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um cabo coaxial super comprido com:
  • um condutor interno sólido de raio a,
  • duas camadas circulares entre a (permeabilidade mu1) e b (permeabilidade mu2),
  • e um condutor externo muito fino em rho=c retornando a corrente.
    Os dados numéricos são
mur1=5, mur2=10, a=1;cm,;b=2;cm,;c=3;cm,;I=10;A
O que precisamos usar é a Lei de Ampère para encontrar Bphi(rho) em cada região e depois esboçar o gráfico de B versus rho de 0 até 2c.

Passo 2

Região 1: 0 (dentro do condutor interno).
Aqui a corrente está distribuída uniformemente no interior de raio a. A densidade de corrente é
J = Ipi a^2,
Para um círculo de raio rho, a corrente “fechada” pela amperiana é
Irm encaixada = Jcdot pi rho^2 = I,rho^2a^2,
Pela Lei de Ampère em forma integral, com permeabilidade no metal mu0 (não há ferrite aí), temos
oint vec Bcdot dvec ell = B(rho),2pirho = mu0,Irm encaixada Longrightarrow B(rho)=mu0 I2pi a^2,rho,
Isso dá um crescimento linear de B de 0 até rho=a.

Passo 3

Região 2: a (primeira camada $ \mu_1=\mu_r1\mu_0$).
Agora toda a corrente mu1=mur1mu0 do condutor interno está dentro da amperiana (já estamos fora de I), então
a
Ou seja, aqui quase cai como oint vec Bcdot dvec ell = B(rho),2pirho = mu1,I Longrightarrow B(rho)=mu0,mur1,I2pi,rho =mu0cdot5cdot102pi,rho, , mas com o “ganho” de permeabilidade 5.

Passo 4

Região 3: b (segunda camada, mu2=mur2mu0).
Mesmo raciocínio: toda a corrente I está dentro, mas agora o material tem mu2. Então
$$B(\rho)=\frac{\mu_0,\mu_{r2},I}{2\pi,\rho}
=\frac{\mu_0\cdot10\cdot10}{2\pi,\rho},. $$
Novamente um decaimento B(rho)=mu0,mur2,I2pi,rho =mu0cdot10cdot102pi,rho, , só que mais intenso porque 1/rho.

Passo 5

Região 4: rho>c (fora do coaxial).
Temos duas correntes dentro da amperiana: +I no condutor interno e -I no externo (reta fina em c). O total encaixado é zero, logo
B(rho)=0para rho>c,

Resposta

Juntando tudo, para 0 o campo vec B só tem componente azimutal Bphi(rho) dada por
  1. 0
B(rho)=mu0,I2pi,a^2,rho(cresce linearmente)
  1. a
B(rho)=mu0,5,I2pi,rho(decai como 1/rho)
  1. b
B(rho)=mu0,10,I2pi,rho(decai como 1/rho, mais a
  1. c
B(rho)=0(campo cancelado pela corrente de retorno)
No gráfico, você veria:
  • de rho=0 até rho=a, uma reta subindo de 0 até B(a);
  • depois um decaimento 1/rho com patamar proporcional a mur1=5 entre a e b;
  • em seguida outro decaimento 1/rho maior (pois mur2=10) entre b e c;
  • e finalmente, a partir de c, o campo cai a zero.

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