Seja um cabo coaxial muito longo constituído de um condutor interno sólido de raio
, duas camadas de materiais distintos que se estendem de
e
, caracterizados, respectivamente, por
e
, e um condutor externo (de retorno) de espessura desprezível. Considere os itens a seguir.
c) Calcule a indutância total do cabo por unidade de comprimento.
c) Calcule a indutância total do cabo por unidade de comprimento.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede a indutância por unidade de comprimento de um cabo coaxial bem longo, que tem:
- Condutor interno (raio
) - Duas camadas magnéticas: de
com permeabilidade e de com permeabilidade - Condutor externo em
(espessura desprezível)
Conteúdo envolvido:
- Lei de Ampère para achar o campo
- Energia magnética no campo:
- Relação entre energia por comprimento e indutância:
A partir do Passo 2 a gente parte pra contas mesmas.
Passo 2
Aplicar a Lei de Ampère (pelo caminho circular de raio genérico
) para achar
e daí
. Como só circula corrente
no condutor interno, para qualquer
vale:
Logo em cada região:
-
-
Passo 3
Agora a densidade de energia magnética é
Substituindo em cada camada:
- Para
$$u_1(\rho)=\tfrac12\Bigl(\mu_1,\frac{I}{2\pi\rho}\Bigr)\Bigl(\frac{I}{2\pi\rho}\Bigr)
=\frac{\mu_1\,I^2}{8\pi^2\,\rho^2}.$$
- Para
:
Passo 4
Agora a energia por unidade de comprimento
é a integral de
sobre a área da seção transversal (elemento
):
Calculemos cada uma:
- De
até : - De
até :$$\frac{\mu_2 I2}{4\pi}\int_{b}{c}\frac{d\rho}{\rho}=\frac{\mu_2 I^2}{4\pi}\ln!\frac{c}{b}.$$
Somando:
Passo 5
Relação entre energia por comprimento e indutância por comprimento é
Logo:
$$L’=\frac{2}{I2},\frac{I2}{4\pi}\Bigl[\mu_1\ln\frac{b}{a}+\mu_2\ln\frac{c}{b}\Bigr]
=\frac{1}{2\pi}\Bigl[\mu_1\ln\frac{b}{a}+\mu_2\ln\frac{c}{b}\Bigr].$$
Resposta
A indutância total por unidade de comprimento vale