Seja um cabo coaxial muito longo constituído de um condutor interno sólido de raio a, duas camadas de materiais distintos que se estendem de a e b, caracterizados, respectivamente, por mu1 e mu2, e um condutor externo (de retorno) de espessura desprezível. Considere os itens a seguir.
c) Calcule a indutância total do cabo por unidade de comprimento.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a indutância por unidade de comprimento de um cabo coaxial bem longo, que tem:
  • Condutor interno (raio a)
  • Duas camadas magnéticas: de a com permeabilidade mu1 e de b com permeabilidade mu2
  • Condutor externo em rho=c (espessura desprezível)
    Conteúdo envolvido:
  1. Lei de Ampère para achar o campo B(rho)
  2. Energia magnética no campo: u=tfrac12 Bcdot H
  3. Relação entre energia por comprimento e indutância: L'=dfrac2U'I^2
    A partir do Passo 2 a gente parte pra contas mesmas.

Passo 2

Aplicar a Lei de Ampère (pelo caminho circular de raio genérico rho) para achar H(rho) e daí B(rho)=mu,H(rho). Como só circula corrente I no condutor interno, para qualquer rho vale:
oint Hcdot d l = H(rho),(2pirho)=I ;Longrightarrow; H(rho)=I2pirho
Logo em cada região:
- a: B1(rho)=mu1,I2pirho
- b: B2(rho)=mu2,I2pirho

Passo 3

Agora a densidade de energia magnética é
u(rho)=tfrac12, Bcdot H = tfrac12,B(rho),H(rho)
Substituindo em cada camada:
- Para a:
$$u_1(\rho)=\tfrac12\Bigl(\mu_1,\frac{I}{2\pi\rho}\Bigr)\Bigl(\frac{I}{2\pi\rho}\Bigr)
=\frac{\mu_1\,I^2}{8\pi^2\,\rho^2}.$$  
  • Para u1(rho)=tfrac12l(mu1,I2pirhor)l(I2pirhor) =mu1,I^28pi^2,rho^2: b

Passo 4

Agora a energia por unidade de comprimento U' é a integral de u(rho) sobre a área da seção transversal (elemento dV = 2pirho,drho):
U'=integrala^bu1(rho),2pirho,drho ;+;integralb^cu2(rho),2pirho,drho
Calculemos cada uma:
  1. De a até b: integrala^bmu1 I^28pi^2rho^2,2pirho,drho =mu1 I^24piintegrala^bdrhorho =mu1 I^24piln!ba
  2. De b até c:$$\frac{\mu_2 I2}{4\pi}\int_{b}{c}\frac{d\rho}{\rho}=\frac{\mu_2 I^2}{4\pi}\ln!\frac{c}{b}.$$
Somando:
mu2 I^24piintegralb^cdrhorho =mu2 I^24piln!cb

Passo 5

Relação entre energia por comprimento e indutância por comprimento é
L'=2U'I^2
Logo:
$$L’=\frac{2}{I2},\frac{I2}{4\pi}\Bigl[\mu_1\ln\frac{b}{a}+\mu_2\ln\frac{c}{b}\Bigr]
 =\frac{1}{2\pi}\Bigl[\mu_1\ln\frac{b}{a}+\mu_2\ln\frac{c}{b}\Bigr].$$

Resposta

A indutância total por unidade de comprimento vale
boxedL'=12pil[mu1,lnba;+;mu2,lncbr]

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