Seja S o cone elíptico de equação S: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
y=4

Passo 1

O enunciado dá o cone elíptico
S:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}
e pede a curva de interseção com o plano y=4. O conteúdo é geometria analítica de quádricas e vamos usar substituição direta do plano na equação do cone.

Passo 2

Substituímos y=4 em
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}
ficando
\frac{x^{2}}{4}+\frac{4^{2}}{16}=z^{2}.

Passo 3

Calculamos \tfrac{4^{2}}{16}=\tfrac{16}{16}=1, logo a equação reduz a
\frac{x^{2}}{4}+1=z^{2}.
Reescrevendo em forma padrão de cônica obtemos
z^{2}-\frac{x^{2}}{4}=1.

Passo 4

A equação
z^{2}-\frac{x^{2}}{4}=1
é a forma canônica de uma hipérbole centrada em (x,z)=(0,0) no plano y=4, com semi-eixo real a=1 ao longo de z e semi-eixo imaginário b=2 ao longo de x.

Resposta

A interseção existe e é uma hipérbole no plano y=4, dada por
z^{2}-\frac{x^{2}}{4}=1.

Exercícios relacionados