Seja S o cone elíptico de equação S: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
z=0

Passo 1

O enunciado dá o cone elíptico
S: \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = z^{2}
e pede a interseção desse cone com o plano
z = 0.
Vamos usar substituição direta para obter a curva de interseção.

Passo 2

Substituindo z=0 na equação de S, obtemos
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 0.

Passo 3

Note que os termos \frac{x^{2}}{4} e \frac{y^{2}}{16} são ambos não negativos e sua soma só pode ser zero se cada parcela for zero. Logo
\frac{x^{2}}{4} = 0 \quad\text{e}\quad \frac{y^{2}}{16} = 0
implicam
x = 0 \quad\text{e}\quad y = 0.

Resposta

A interseção de S com o plano z=0 é apenas o ponto (0,0,0).

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