Seja S o cone elíptico de equação S: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
y=0

Passo 1

O enunciado pede a interseção do cone elíptico
S:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}
com o plano y=0. O conteúdo é interseção de uma superfície quádrupla com um plano.

Passo 2

Em y=0, a equação de S fica
\frac{x^{2}}{4}+\frac{0^{2}}{16}=z^{2},
ou seja
\frac{x^{2}}{4}=z^{2}.

Passo 3

Da equação \frac{x^{2}}{4}=z^{2} segue
z^{2}=\frac{x^{2}}{4}\implies z=\pm\frac{x}{2}.
Cada escolha de sinal define uma reta no plano y=0.

Resposta

A interseção S\cap\{y=0\} é
\{(x,0,z)\mid z=\tfrac{x}{2}\}\;\cup\;\{(x,0,z)\mid z=-\tfrac{x}{2}\},
ou seja, duas retas pelo plano y=0.

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