Seja S o cone elíptico de equação S: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
z=2

Passo 1

O enunciado dá o cone elíptico
S:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}
e pede a curva de interseção de S com o plano z=2.
Conteúdo necessário: substituir z=2 na equação do cone e reconhecer a cônica resultante.

Passo 2

Substituindo z=2 em
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z^{2}
ficamos com
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=2^{2}=4.

Passo 3

Para colocar em forma padrão, multiplica-se ambos os lados por 16:
4x^{2}+y^{2}=64
e em seguida divide-se por 64:
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{64}=1.
Isso é a equação de uma elipse no plano z=2.

Resposta

A interseção de S com z=2 é a elipse
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{64}=1,
com z=2.
Em forma paramétrica, por exemplo,
x=4\cos t,\quad y=8\sin t,\quad z=2,\quad t\in[0,2\pi].

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