Seja o conjunto A=\{1,2,3,6,9\} e a relação T dada por
a T b \quad \text { se } \quad a \text { divide } b
Encontre todos os pares ordenados de T, i.e., todos os pares de elementos de A que estão relacionados por T.
Mostre que T é uma ordem parcial em A. Essa ordem é total?

Passo 1

Enunciado e o que se pede (vamos organizar direitinho para não se perder):\n
  • O conjunto dado é A=\{1,2,3,6,9\}.\n
  • A relação T é definida por: \;a\,T\,b se, e somente se, a divide b.\n
    As perguntas são: (i) encontrar todos os pares ordenados de T (ou seja, listar todos os (a,b)\in A\times A tais que a divide b); (ii) mostrar que T é uma ordem parcial em A (ou seja, verificar as propriedades necessárias); (iii) dizer se essa ordem é total (comparável para todo par de elementos) e justificar.

Passo 2

Primeiro, lembraremos do que significa “ a divide b”: significa que existe um inteiro k tal que b=a\cdot k. Vou aplicar isso elemento a elemento em A. Começo por a=1.\n
  • Para \,a=1: qualquer inteiro é múltiplo de 1, então 1 divide todos os elementos de A. Logo os pares com a=1 são
(1,1),\\ (1,2),\\ (1,3),\\ (1,6),\\ (1,9).

Passo 3

Agora faço a=2. Procuramos b\in A tais que 2 divide b.\n
  • 2 divide 2 (porque 2=2\cdot1).\n
  • 2 divide 6 (porque 6=2\cdot3).\n
  • 2 não divide 3 nem 9 (não há inteiro k em A que satisfaça) e obviamente não divide \,1 no sentido de 1=2\cdot k com k inteiro.\n
    Então os pares com a=2 são
(2,2),\\ (2,6).

Passo 4

Agora a=3. Procuramos b\in A tais que 3 divide b.\n
  • 3 divide 3 ( 3=3\cdot1).\n
  • 3 divide 6 ( 6=3\cdot2).\n
  • 3 divide 9 ( 9=3\cdot3).\n
    Logo os pares com a=3 são
(3,3),\\ (3,6),\\ (3,9).

Passo 5

Agora a=6 e a=9.\n
  • Para a=6: 6 divide 6 ( 6=6\cdot1), e não divide 1,2,3,9 dentro do conjunto A. Então o par é (6,6).\n
  • Para a=9: 9 divide 9 ( 9=9\cdot1), e não divide os outros elementos de A. Então o par é (9,9).

Passo 6

Agora reúno tudo que computamos: todos os pares (a,b)\in A\times A tais que a divide b são
T=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(1,9), (2,2),(2,6), (3,3),(3,6),(3,9), (6,6),(9,9)\}.
Pronto — essa é a listagem completa.

Passo 7

Agora vamos mostrar que T é uma ordem parcial. Vou lembrar as três propriedades que precisam valer e verificar uma a uma, explicando bem:\n
Definições (curtas e claras):\n
  • Reflexiva: para todo x\in A, devemos ter x\,T\,x (ou seja, x divide x).\n
  • Antissimétrica: se x\,T\,y e y\,T\,x então x=y.\n
  • Transitiva: se x\,T\,y e y\,T\,z então x\,T\,z.

Passo 8

Verificação da reflexividade (passo a passo):\n
  • Para qualquer x\in A vale que x=x\cdot1, ou seja, existe um inteiro ( 1) tal que x=x\cdot 1. Logo x divide x. Portanto, para todo x\in A temos (x,x)\in T.\n
  • Observação prática: na lista de T vemos (1,1),(2,2),(3,3),(6,6),(9,9) — todas as reflexivas presentes. Então T é reflexiva.

Passo 9

Verificação da antissimetria (passo a passo e com a ideia por trás):\n
  • Em matemá‑língua: suponha que a,b\in A e que a\,T\,b e b\,T\,a. Isso significa que existem inteiros k e l tais que b=a\cdot k e a=b\cdot l.\n
  • Substituindo a segunda na primeira: a = (a\cdot k)\cdot l = a\cdot (k l). Como a é um inteiro positivo e não é zero, podemos dividir ambos os lados por a obtendo 1 = k l.\n
  • Se k e l são inteiros positivos e o produto é 1, então k=1 e l=1. Assim b=a\cdot1=a e a=b\cdot1=b. Portanto a=b.\n
  • Conclusão: não existe par distinto a\neq b com a\,T\,b e b\,T\,a. Conferindo a lista de T, todos os pares “duplos” são apenas os reflexivos. Logo T é antissimétrica.

Passo 10

Verificação da transitividade (passo a passo):\n
  • Em termos gerais: se a\,T\,b e b\,T\,c, então existem inteiros k e l tais que b=a\cdot k e c=b\cdot l.\n
  • Então c = b\cdot l = (a\cdot k)\cdot l = a\cdot (k l). Como k l é inteiro, segue que a divide c, ou seja, a\,T\,c.\n
  • Aplicando isso aos elementos de A: por exemplo, 1\,T\,2 e 2\,T\,6 implicam 1\,T\,6 (que está na nossa lista), 3\,T\,6 e 6\,T\,6 implicam 3\,T\,6 etc. Portanto a transitividade vale.

Passo 11

Conclusão sobre ordem parcial:\n
  • Como T é reflexiva, antissimétrica e transitiva, concluímos que T é uma ordem parcial em A.\n
    Agora verificamos se a ordem é total (ou linear):\n
  • Ordem total significa que, para quaisquer x,y\in A, ou x\,T\,y ou y\,T\,x (ou ambos, o que só ocorre quando x=y).\n
  • Basta um contra‑exemplo para mostrar que não é total. Tome 2 e 3:\n - 2 não divide 3 (não existe inteiro k com 3=2k). Logo (2,3)\notin T.\n - 3 não divide 2 (não existe inteiro k com 2=3k). Logo (3,2)\notin T.\n- Assim 2 e 3 são incomparáveis na relação T, logo T não é total.

Resposta

T=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(1,9),(2,2),(2,6),(3,3),(3,6),(3,9),(6,6),(9,9)\}
Sim, T é uma ordem parcial em A.
Não, T não é total (por exemplo (2,3)\notin T e (3,2)\notin T).

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