Seja o conjunto
e a relação
dada por
Encontre todos os pares ordenados de
, i.e., todos os pares de elementos de
que estão relacionados por
.
Mostre que
é uma ordem parcial em
. Essa ordem é total?
Passo 1
Enunciado e o que se pede (vamos organizar direitinho para não se perder):\n
- O conjunto dado é
.\n - A relação
é definida por: se, e somente se, divide .\n
As perguntas são: (i) encontrar todos os pares ordenados de(ou seja, listar todos os tais que divide ); (ii) mostrar que é uma ordem parcial em (ou seja, verificar as propriedades necessárias); (iii) dizer se essa ordem é total (comparável para todo par de elementos) e justificar.
Passo 2
Primeiro, lembraremos do que significa “
divide
”: significa que existe um inteiro
tal que
. Vou aplicar isso elemento a elemento em
. Começo por
.\n
- Para
: qualquer inteiro é múltiplo de , então divide todos os elementos de . Logo os pares com são
Passo 3
Agora faço
. Procuramos
tais que
divide
.\n
-
divide (porque ).\n -
divide (porque ).\n -
não divide nem (não há inteiro em que satisfaça) e obviamente não divide no sentido de com inteiro.\n
Então os pares comsão
Passo 4
Agora
. Procuramos
tais que
divide
.\n
-
divide ( ).\n -
divide ( ).\n -
divide ( ).\n
Logo os pares comsão
Passo 5
Agora
e
.\n
- Para
: divide ( ), e não divide dentro do conjunto . Então o par é .\n - Para
: divide ( ), e não divide os outros elementos de . Então o par é .
Passo 6
Agora reúno tudo que computamos: todos os pares
tais que
divide
são
Pronto — essa é a listagem completa.
Passo 7
Agora vamos mostrar que
é uma ordem parcial. Vou lembrar as três propriedades que precisam valer e verificar uma a uma, explicando bem:\n
Definições (curtas e claras):\n
Definições (curtas e claras):\n
- Reflexiva: para todo
, devemos ter (ou seja, divide ).\n - Antissimétrica: se
e então .\n - Transitiva: se
e então .
Passo 8
Verificação da reflexividade (passo a passo):\n
- Para qualquer
vale que , ou seja, existe um inteiro ( ) tal que . Logo divide . Portanto, para todo temos .\n - Observação prática: na lista de
vemos — todas as reflexivas presentes. Então é reflexiva.
Passo 9
Verificação da antissimetria (passo a passo e com a ideia por trás):\n
- Em matemá‑língua: suponha que
e que e . Isso significa que existem inteiros e tais que e .\n - Substituindo a segunda na primeira:
. Como é um inteiro positivo e não é zero, podemos dividir ambos os lados por obtendo .\n - Se
e são inteiros positivos e o produto é , então e . Assim e . Portanto .\n - Conclusão: não existe par distinto
com e . Conferindo a lista de , todos os pares “duplos” são apenas os reflexivos. Logo é antissimétrica.
Passo 10
Verificação da transitividade (passo a passo):\n
- Em termos gerais: se
e , então existem inteiros e tais que e .\n - Então
. Como é inteiro, segue que divide , ou seja, .\n - Aplicando isso aos elementos de
: por exemplo, e implicam (que está na nossa lista), e implicam etc. Portanto a transitividade vale.
Passo 11
Conclusão sobre ordem parcial:\n
- Como
é reflexiva, antissimétrica e transitiva, concluímos que é uma ordem parcial em .\n
Agora verificamos se a ordem é total (ou linear):\n - Ordem total significa que, para quaisquer
, ou ou (ou ambos, o que só ocorre quando ).\n - Basta um contra‑exemplo para mostrar que não é total. Tome
e :\n - não divide (não existe inteiro com ). Logo .\n - não divide (não existe inteiro com ). Logo .\n- Assim e são incomparáveis na relação , logo não é total.
Resposta
Sim,
é uma ordem parcial em
.
Não, não é total (por exemplo
e
).
Não,