Construa um conjunto que possua um número infinito de elementos minimais.
Passo 1
O enunciado pede uma construção: “Construa um conjunto que possua um número infinito de elementos minimais.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado: não há restrições adicionais (por exemplo, não foi dito que a ordem deve ser total, nem que o conjunto deve ser finito, etc.). Portanto podemos escolher livremente um conjunto e uma relação de ordem parcial apropriada, desde que o resultado tenha infinitos elementos minimais.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: não há restrições adicionais (por exemplo, não foi dito que a ordem deve ser total, nem que o conjunto deve ser finito, etc.). Portanto podemos escolher livremente um conjunto e uma relação de ordem parcial apropriada, desde que o resultado tenha infinitos elementos minimais.
Passo 2
Vamos aprender o que é preciso para entender a construção — definição e ideia de “elemento minimal”.
Definição de ordem parcial (poset): seja um conjunto e
uma relação binária em
. Dizemos que
é uma ordem parcial se
satisfaz as três propriedades abaixo para todo
:
Definição de ordem parcial (poset): seja
Definição de elemento minimal: num poset
, um elemento
é minimal se não existe
com
, isto é, não existe
tal que
e
. Em símbolos:
Observação importante (para a prova): “minimal” não é o mesmo que “mínimo/least”. Um elemento mínimo seria
tal que
para todo
. Um poset pode ter muitos elementos minimais (até infinitos) e nenhum elemento mínimo.
Passo 3
Estratégia para construir um exemplo: se conseguirmos um conjunto infinito cujos elementos sejam todos (ou muitos) pairwise incomparáveis, então cada um desses elementos será minimal. Um conjunto de elementos mutuamente incomparáveis chama-se antichain. Logo basta construir um antichain infinito num poset.
Passo 4
Construção simples e direta (primeira opção). Definimos o conjunto
ou seja,
é a coleção de todas as partes singulares (singletons) dos naturais. Ordenamos
pela inclusão usual
. Esta é a construção completa: o poset é
.
Passo 5
Verificação de que a construção funciona (passo a passo didático). Primeiro,
restrita a
é uma ordem parcial porque
é reflexiva, antissimétrica e transitiva em qualquer família de conjuntos; então (i), (ii) e (iii) do Passo 2 valem em
.
Agora mostro que cada elemento de é minimal. Seja
. Se houvesse
com
, então
seria um subconjunto próprio de
. Mas os únicos subconjuntos de
são
e
; como
(pois
contém apenas singletons), não existe
com
. Portanto não existe
com
, i.e.
é minimal.
Agora mostro que cada elemento de
Passo 6
Conclusão sobre infinitude dos minimais no exemplo. Como há um elemento
para cada
, e cada
é minimal pelo Passo 5, o conjunto de elementos minimais de
é
que é infinito. Assim construímos um poset com infinitos elementos minimais.
Passo 7
Exemplo alternativo (opcional, útil para a prova): outra construção igualmente simples é tomar
com a ordem tal que, para cada
,
além da reflexividade, e sem nenhuma comparação entre pares com índices diferentes. Nesse poset cada
é minimal e há infinitos tais
. Esta construção é boa para lembrar a ideia de “uma cópia de dois elementos para cada índice” e é fácil de verificar as propriedades de ordem.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova: apresente claramente o conjunto e a relação de ordem; verifique rapidamente que é ordem parcial (ou diga que
já é ordem parcial); mostre que não existe elemento estritamente menor dentro do conjunto escolhido para cada candidato minimal; e conclua citando que há infinitos desses candidatos (por exemplo, indexados por
). Respire fundo, escreva passo a passo — isso vale mais pontos do que uma construção sem justificativa.
Resposta
Uma construção simples é
ordenado por
. Todos os elementos
são minimais, logo há infinitos elementos minimais.