Construa um conjunto que possua um número infinito de elementos minimais.

Passo 1

O enunciado pede uma construção: “Construa um conjunto que possua um número infinito de elementos minimais.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado: não há restrições adicionais (por exemplo, não foi dito que a ordem deve ser total, nem que o conjunto deve ser finito, etc.). Portanto podemos escolher livremente um conjunto e uma relação de ordem parcial apropriada, desde que o resultado tenha infinitos elementos minimais.

Passo 2

Vamos aprender o que é preciso para entender a construção — definição e ideia de “elemento minimal”.
Definição de ordem parcial (poset): seja P um conjunto e \le uma relação binária em P. Dizemos que (P,\le) é uma ordem parcial se \le satisfaz as três propriedades abaixo para todo x,y,z\in P:
\text{(i) reflexiva: } x\le x;
\text{(ii) antissimétrica: se } x\le y \text{ e } y\le x \text{ então } x=y;éã
\text{(iii) transitiva: se } x\le y \text{ e } y\le z \text{ então } x\le z.ã
Definição de elemento minimal: num poset (P,\le), um elemento m\in P é minimal se não existe x\in P com x<m, isto é, não existe x\in P tal que x\le m e x\neq m. Em símbolos:
m \text{ é minimal} \quad\Longleftrightarrow\quad \neg\exists x\in P\\ (x\le m \land x\neq m).é
Observação importante (para a prova): “minimal” não é o mesmo que “mínimo/least”. Um elemento mínimo seria m tal que m\le y para todo y\in P. Um poset pode ter muitos elementos minimais (até infinitos) e nenhum elemento mínimo.

Passo 3

Estratégia para construir um exemplo: se conseguirmos um conjunto infinito cujos elementos sejam todos (ou muitos) pairwise incomparáveis, então cada um desses elementos será minimal. Um conjunto de elementos mutuamente incomparáveis chama-se antichain. Logo basta construir um antichain infinito num poset.

Passo 4

Construção simples e direta (primeira opção). Definimos o conjunto
A=\{\{n\}\mid n\in\mathbb{N}\},
ou seja, A é a coleção de todas as partes singulares (singletons) dos naturais. Ordenamos A pela inclusão usual \subseteq. Esta é a construção completa: o poset é (A,\subseteq).

Passo 5

Verificação de que a construção funciona (passo a passo didático). Primeiro, \subseteq restrita a A é uma ordem parcial porque \subseteq é reflexiva, antissimétrica e transitiva em qualquer família de conjuntos; então (i), (ii) e (iii) do Passo 2 valem em A.
Agora mostro que cada elemento de A é minimal. Seja \{n\}\in A. Se houvesse X\in A com X\subsetneq\{n\}, então X seria um subconjunto próprio de \{n\}. Mas os únicos subconjuntos de \{n\} são \varnothing e \{n\}; como \varnothing\notin A (pois A contém apenas singletons), não existe X\in A com X\subsetneq\{n\}. Portanto não existe X\in A com X<\{n\}, i.e. \{n\} é minimal.

Passo 6

Conclusão sobre infinitude dos minimais no exemplo. Como há um elemento \{n\}\in A para cada n\in\mathbb{N}, e cada \{n\} é minimal pelo Passo 5, o conjunto de elementos minimais de (A,\subseteq) é
\{\{n\}\mid n\in\mathbb{N}\},
que é infinito. Assim construímos um poset com infinitos elementos minimais.

Passo 7

Exemplo alternativo (opcional, útil para a prova): outra construção igualmente simples é tomar
S=\{(n,0),(n,1)\mid n\in\mathbb{N}\}
com a ordem tal que, para cada n,
(n,0)\le(n,1),
além da reflexividade, e sem nenhuma comparação entre pares com índices diferentes. Nesse poset cada (n,0) é minimal e há infinitos tais (n,0). Esta construção é boa para lembrar a ideia de “uma cópia de dois elementos para cada índice” e é fácil de verificar as propriedades de ordem.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova: apresente claramente o conjunto e a relação de ordem; verifique rapidamente que é ordem parcial (ou diga que \subseteq já é ordem parcial); mostre que não existe elemento estritamente menor dentro do conjunto escolhido para cada candidato minimal; e conclua citando que há infinitos desses candidatos (por exemplo, indexados por \mathbb{N}). Respire fundo, escreva passo a passo — isso vale mais pontos do que uma construção sem justificativa.

Resposta

Uma construção simples é A=\{\{n\}\mid n\in\mathbb{N}\} ordenado por \subseteq. Todos os elementos \{n\} são minimais, logo há infinitos elementos minimais.

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