Construa um conjunto que possua exatamente três elementos minimais.
Passo 1
O que o enunciado pede: construir um conjunto que possua exatamente três elementos minimais.
Informações dadas: não há informações adicionais — você só precisa apresentar um exemplo (um conjunto com uma relação de ordem) que tenha precisamente três elementos minimais.
Informações dadas: não há informações adicionais — você só precisa apresentar um exemplo (um conjunto com uma relação de ordem) que tenha precisamente três elementos minimais.
Passo 2
Definição importante (vou explicar devagar): seja
um conjunto parcialmente ordenado por uma relação
. Dizemos que um elemento
é minimal se não existe nenhum elemento diferente de
que seja menor ou igual a
. Formalmente:
Interpretação intuitiva: um elemento minimal é um daqueles que não tem nenhum “próximo abaixo” — nada fica estritamente abaixo dele na ordem.
Para fixar a ideia, contraste com mínimo: um mínimo é um elemento
tal que, para todo
,
. Ou seja, o mínimo é menor ou igual a todos os elementos. Todo mínimo é minimal (porque não há quem esteja abaixo dele), mas um minimal não precisa ser mínimo (pode haver vários minimals incomparáveis entre si). É justamente essa diferença que vamos explorar: queremos exatamente três minimals (várias “menores” que não se comparam).
Passo 3
Estratégia de construção (simples e prática): montar um conjunto com três elementos que sejam incomparáveis entre si (portanto cada um deles será minimal) e acrescentar um outro elemento maior que todos eles (para garantir que exista algum elemento que não seja minimal). Um desenho mental: três pontos no nível inferior (incomparáveis) e um ponto acima conectado a cada um deles. Isso costuma se chamar um “V” de três ramos apontando para cima (Hasse diagram).
Passo 4
Construção explícita. Tome o conjunto
Defina a relação de ordem
como sendo a relação reflexiva sobre cada elemento, mais as comparações
,
e
, e nenhuma outra comparação entre
. Mais formalmente:
Aqui entendemos
como sendo o fechamento reflexivo e já escrito; não há pares como
,
,
etc. Assim a ordem é reflexiva, antissimétrica e transitiva (não surgem novas cadeias além das listadas), logo é uma ordem parcial válida.
Passo 5
Verificação de que
são minimal. Pegue
. Para existir um
com
precisaríamos ter na relação um par
com
. Mas por construção não existe nenhum
além de
. Logo não existe
com
; portanto
é minimal. Mesma razão vale para
e para
.
Passo 6
Verificação de que
não é minimal. Temos
(e também
,
), e
; portanto existe um elemento diferente que fica abaixo de
. Logo
não é minimal.
Passo 7
Conclusão sobre a quantidade de minimals. O conjunto
tem exatamente quatro elementos
. Já mostramos que
são minimal e
não é. Assim os elementos minimais de
são exatamente
— ou seja, há exatamente três elementos minimais.
Resposta
Considere
com
.
Os elementos minimais de são
.
Os elementos minimais de