Construa um conjunto que possua exatamente três elementos minimais.

Passo 1

O que o enunciado pede: construir um conjunto que possua exatamente três elementos minimais.
Informações dadas: não há informações adicionais — você só precisa apresentar um exemplo (um conjunto com uma relação de ordem) que tenha precisamente três elementos minimais.

Passo 2

Definição importante (vou explicar devagar): seja P um conjunto parcialmente ordenado por uma relação \le. Dizemos que um elemento m\in P é minimal se não existe nenhum elemento diferente de m que seja menor ou igual a m. Formalmente:
\text{\(m\) é minimal em \(P\) se não existe \(x\in P\) tal que \(x\neq m\) e \(x\le m\).}éã
Interpretação intuitiva: um elemento minimal é um daqueles que não tem nenhum “próximo abaixo” — nada fica estritamente abaixo dele na ordem.
Para fixar a ideia, contraste com mínimo: um mínimo é um elemento m\in P tal que, para todo x\in P, m\le x. Ou seja, o mínimo é menor ou igual a todos os elementos. Todo mínimo é minimal (porque não há quem esteja abaixo dele), mas um minimal não precisa ser mínimo (pode haver vários minimals incomparáveis entre si). É justamente essa diferença que vamos explorar: queremos exatamente três minimals (várias “menores” que não se comparam).

Passo 3

Estratégia de construção (simples e prática): montar um conjunto com três elementos que sejam incomparáveis entre si (portanto cada um deles será minimal) e acrescentar um outro elemento maior que todos eles (para garantir que exista algum elemento que não seja minimal). Um desenho mental: três pontos no nível inferior (incomparáveis) e um ponto acima conectado a cada um deles. Isso costuma se chamar um “V” de três ramos apontando para cima (Hasse diagram).

Passo 4

Construção explícita. Tome o conjunto
P=\{a,b,c,d\}.
Defina a relação de ordem \le como sendo a relação reflexiva sobre cada elemento, mais as comparações a\le d, b\le d e c\le d, e nenhuma outra comparação entre a,b,c. Mais formalmente:
\le \;=\;\{(x,x)\mid x\in P\}\\ \cup\\ \{(a,d),(b,d),(c,d)\}.
Aqui entendemos \le como sendo o fechamento reflexivo e já escrito; não há pares como (a,b), (b,a), (a,c) etc. Assim a ordem é reflexiva, antissimétrica e transitiva (não surgem novas cadeias além das listadas), logo é uma ordem parcial válida.

Passo 5

Verificação de que a,b,c são minimal. Pegue a. Para existir um x\neq a com x\le a precisaríamos ter na relação um par (x,a) com x\neq a. Mas por construção não existe nenhum (x,a) além de (a,a). Logo não existe x\neq a com x\le a; portanto a é minimal. Mesma razão vale para b e para c.

Passo 6

Verificação de que d não é minimal. Temos a\le d (e também b\le d, c\le d), e a\neq d; portanto existe um elemento diferente que fica abaixo de d. Logo d não é minimal.

Passo 7

Conclusão sobre a quantidade de minimals. O conjunto P tem exatamente quatro elementos \{a,b,c,d\}. Já mostramos que a,b,c são minimal e d não é. Assim os elementos minimais de P são exatamente a,b,c — ou seja, há exatamente três elementos minimais.

Resposta

Considere P=\{a,b,c,d\} com \le=\{(x,x)\mid x\in P\}\cup\{(a,d),(b,d),(c,d)\}.
Os elementos minimais de P são a,\;b,\;c.

Exercícios relacionados