Use a definição de limites para provar que:
\lim _{z \rightarrow 0} \frac{\bar{z}}{z}=0.

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de limite em \mathbb{C} e provar que
\lim_{z\to 0}\frac{\overline z}{z}=0.
Por definição, dizer que \lim_{z\to0}f(z)=L significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
0<|z-0|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\bigl|f(z)-L\bigr|<\varepsilon.
Aqui temos f(z)=\overline z/z e o candidato a limite L=0.

Passo 2

Calculemos o módulo de \overline z/z. Escrevendo z\neq0 em forma polar z=re^{i\theta}, temos
\overline z = re^{-i\theta},
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\left|\frac{\overline z}{z}\right| =\frac{|\overline z|}{|z|} =\frac{r}{r} =1.
Em particular, para todo z\neq0 vale
\Bigl|\tfrac{\overline z}{z}-0\Bigr| =\Bigl|\tfrac{\overline z}{z}\Bigr| =1.

Passo 3

Vamos tentar satisfazer a definição de limite com L=0. Escolha \varepsilon=\tfrac12. Para que \bigl|\overline z/z-0\bigr|<\tfrac12 fosse verdadeira sempre que 0<|z|<\delta, precisaríamos ter
1=\Bigl|\tfrac{\overline z}{z}\Bigr|<\tfrac12,
o que é impossível. Não importa qual \delta>0 escolhamos, sempre existe z com 0<|z|<\delta tal que \bigl|\overline z/z\bigr|=1\ge\tfrac12. Isso contradiz a definição de limite.

Resposta

O limite não existe, logo não é verdade que \lim_{z\to0}\frac{\overline z}{z}=0.

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