Sejam a, b, c constantes complexas. Use a definição de limites para provar que:
\lim _{z \rightarrow z_{0}}\left(z^{2}+c\right)=z_{0}^{2}+c;

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite em \mathbb{C}, que
\lim_{z\to z_{0}}\bigl(z^{2}+c\bigr)=z_{0}^{2}+c,
sendo c constante complexa. O conteúdo principal é a definição \varepsilon \delta de limite para funções de variável complexa e a fatoração de z^{2}-z_{0}^{2}.

Passo 2

Escrevemos a definição de limite em \mathbb{C}: dizemos que
\lim_{z\to z_{0}}f(z)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
0<\lvert z-z_{0}\rvert<\delta \quad\Longrightarrow\quad \lvert f(z)-L\rvert<\varepsilon.
Aqui temos f(z)=z^{2}+c e queremos L=z_{0}^{2}+c.

Passo 3

Calculemos a diferença em questão:
\lvert f(z)-L\rvert =\bigl\lvert (z^{2}+c)-(z_{0}^{2}+c)\bigr\rvert =\lvert z^{2}-z_{0}^{2}\rvert =\lvert z-z_{0}\rvert\;\lvert z+z_{0}\rvert.
Para controlar \lvert z+z_{0}\rvert, vamos impor que \lvert z-z_{0}\rvert<1, de modo que
\lvert z\rvert \le \lvert z-z_{0}\rvert + \lvert z_{0}\rvert <1 + \lvert z_{0}\rvert \quad\Longrightarrow\quad \lvert z+z_{0}\rvert \le \lvert z\rvert + \lvert z_{0}\rvert < 1 + 2\lvert z_{0}\rvert.

Passo 4

Com isso, sempre que 0<\lvert z-z_{0}\rvert<\delta\le1 temos
\lvert f(z)-L\rvert =\lvert z-z_{0}\rvert\;\lvert z+z_{0}\rvert <\delta\,(1+2\lvert z_{0}\rvert).
Para garantir \lvert f(z)-L\rvert<\varepsilon, basta escolher
\delta =\min\Bigl\{1,\;\frac{\varepsilon}{1+2\lvert z_{0}\rvert}\Bigr\}.
Então, sempre que 0<\lvert z-z_{0}\rvert<\delta teremos
\lvert f(z)-L\rvert <\delta\,(1+2\lvert z_{0}\rvert) \le\frac{\varepsilon}{1+2\lvert z_{0}\rvert}\,(1+2\lvert z_{0}\rvert) =\varepsilon.

Resposta

Portanto, pela definição \varepsilon \delta, concluímos que
\lim_{z\to z_{0}}\bigl(z^{2}+c\bigr)=z_{0}^{2}+c.

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