Seja o conjunto
e a relação
. Mostre que
é uma ordem parcial em
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e a relação
Ele pede para mostrar que
é uma ordem parcial em
.
Informações relevantes: os pares que pertencem a estão exatamente listados acima; não há outros pares em
.
Informações relevantes: os pares que pertencem a
Passo 2
Primeiro vamos lembrar, de forma bem direta e sem mistério, o que significa “ordem parcial”. Uma relação
em
é uma ordem parcial se satisfaz três propriedades:
Vou checar cada uma dessas propriedades, explicando passo a passo o que estou verificando.
Passo 3
Verificação da reflexividade. Precisamos checar que cada elemento de
aparece relacionado consigo mesmo em
.
Os pares diagonais listados em são
,
e
. Como
, vemos que para todo
temos
. Logo,
é reflexiva.
Os pares diagonais listados em
Passo 4
Verificação da antissimetria. A definição diz: se
e
então deve ocorrer
. Vou olhar para os pares não diagonais de
(ou seja, com coordenadas diferentes) e ver se algum deles tem o inverso também em
.
Os pares em com coordenadas diferentes são
e
. Seus conversos seriam
e
. Esses pares
e
não aparecem na lista dada de
. Portanto não existe nenhum par distinto
tal que simultaneamente
e
. Para os casos em que
a implicação é verdadeira trivialmente. Assim,
satisfaz a antissimetria.
Os pares em
Passo 5
Verificação da transitividade. Precisamos verificar que sempre que
e
então
. Como
é pequena, é prático checar todas as combinações possíveis de pares em que o segundo componente do primeiro par coincide com o primeiro componente do segundo par (ou seja, o “y” do meio).
Listei os pares de novamente:
.
Listei os pares de
-
Casos com
: os pares cujo segundo componente é são apenas . Os pares cujo primeiro componente é são . Assim as combinações possíveis são -
e ⇒ precisamos de (está em ); -
e ⇒ precisamos de (está em ); -
e ⇒ precisamos de (está em ).
Todos OK.
-
-
Casos com
: os pares cujo segundo componente é são e . Os pares cujo primeiro componente é são apenas . Assim as combinações possíveis são -
e ⇒ precisamos de (está em ); -
e ⇒ precisamos de (está em ).
Todos OK.
-
-
Casos com
: os pares cujo segundo componente é são e . Os pares cujo primeiro componente é são apenas . Assim as combinações possíveis são -
e ⇒ precisamos de (está em ); -
e ⇒ precisamos de (está em ).
Todos OK.
-
Não existe nenhuma outra combinação possível porque listei todas as ocorrências de cada elemento como primeiro ou segundo componente. Como em todos os casos em que
e
aparecem em
já temos
, concluímos que
é transitiva.
Passo 6
Como verificamos as três propriedades necessárias — reflexividade, antissimetria e transitividade — concluímos que
é uma ordem parcial em
. Força aí nos estudos, você conseguiu acompanhar todos os checagens; em prova é exatamente esse tipo de verificação enxuta que você faz.