Seja o conjunto A=\{a, b, c\} e a relação R=\{(a, a),(b, b),(c, c),(a, b),(a, c)\}. Mostre que R é uma ordem parcial em A.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{a,b,c\} e a relação
R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c)\}.
Ele pede para mostrar que R é uma ordem parcial em A.
Informações relevantes: os pares que pertencem a R estão exatamente listados acima; não há outros pares em R.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar, de forma bem direta e sem mistério, o que significa “ordem parcial”. Uma relação R em A é uma ordem parcial se satisfaz três propriedades:
\text{(i) reflexividade: }\forall x\in A,\\ (x,x)\in R.
\text{(ii) antissimetria: }\forall x,y\in A,\\ \bigl((x,y)\in R\\ \wedge\\ (y,x)\in R\bigr)\Rightarrow x=y.
\text{(iii) transitividade: }\forall x,y,z\in A,\\ \bigl((x,y)\in R\\ \wedge\\ (y,z)\in R\bigr)\Rightarrow (x,z)\in R.
Vou checar cada uma dessas propriedades, explicando passo a passo o que estou verificando.

Passo 3

Verificação da reflexividade. Precisamos checar que cada elemento de A aparece relacionado consigo mesmo em R.
Os pares diagonais listados em R são (a,a), (b,b) e (c,c). Como A=\{a,b,c\}, vemos que para todo x\in A temos (x,x)\in R. Logo, R é reflexiva.

Passo 4

Verificação da antissimetria. A definição diz: se (x,y)\in R e (y,x)\in R então deve ocorrer x=y. Vou olhar para os pares não diagonais de R (ou seja, com coordenadas diferentes) e ver se algum deles tem o inverso também em R.
Os pares em R com coordenadas diferentes são (a,b) e (a,c). Seus conversos seriam (b,a) e (c,a). Esses pares (b,a) e (c,a) não aparecem na lista dada de R. Portanto não existe nenhum par distinto x\neq y tal que simultaneamente (x,y)\in R e (y,x)\in R. Para os casos em que x=y a implicação é verdadeira trivialmente. Assim, R satisfaz a antissimetria.

Passo 5

Verificação da transitividade. Precisamos verificar que sempre que (x,y)\in R e (y,z)\in R então (x,z)\in R. Como R é pequena, é prático checar todas as combinações possíveis de pares em que o segundo componente do primeiro par coincide com o primeiro componente do segundo par (ou seja, o “y” do meio).
Listei os pares de R novamente: (a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c).
  • Casos com y=a: os pares cujo segundo componente é a são apenas (a,a). Os pares cujo primeiro componente é a são (a,a),(a,b),(a,c). Assim as combinações possíveis são
    • (a,a) e (a,a) ⇒ precisamos de (a,a) (está em R);
    • (a,a) e (a,b) ⇒ precisamos de (a,b) (está em R);
    • (a,a) e (a,c) ⇒ precisamos de (a,c) (está em R).
      Todos OK.
  • Casos com y=b: os pares cujo segundo componente é b são (a,b) e (b,b). Os pares cujo primeiro componente é b são apenas (b,b). Assim as combinações possíveis são
    • (a,b) e (b,b) ⇒ precisamos de (a,b) (está em R);
    • (b,b) e (b,b) ⇒ precisamos de (b,b) (está em R).
      Todos OK.
  • Casos com y=c: os pares cujo segundo componente é c são (a,c) e (c,c). Os pares cujo primeiro componente é c são apenas (c,c). Assim as combinações possíveis são
    • (a,c) e (c,c) ⇒ precisamos de (a,c) (está em R);
    • (c,c) e (c,c) ⇒ precisamos de (c,c) (está em R).
      Todos OK.
Não existe nenhuma outra combinação possível porque listei todas as ocorrências de cada elemento como primeiro ou segundo componente. Como em todos os casos em que (x,y) e (y,z) aparecem em R já temos (x,z)\in R, concluímos que R é transitiva.

Passo 6

Como verificamos as três propriedades necessárias — reflexividade, antissimetria e transitividade — concluímos que R é uma ordem parcial em A. Força aí nos estudos, você conseguiu acompanhar todos os checagens; em prova é exatamente esse tipo de verificação enxuta que você faz.

Resposta

R é uma ordem parcial em A.

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