Seja o conjunto A=\{a, b, c\} e a relação R=\{(a, a),(b, b),(c, c),(a, b),(b, c),(a, c)\}. Mostre que R é uma ordem total em A.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \,A=\{a,b,c\}\, e a relação
R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,c),(a,c)\}.
A tarefa é: mostrar que \,R\, é uma ordem total em \,A.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os pares que pertencem a \,R\, são exatamente os listados acima.
  • Queremos verificar as propriedades que definem uma ordem total (ver passos seguintes).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar, com calma, o que é uma ordem total. Vou explicar cada conceito e o que significam as variáveis nas definições.
Definição de ordem parcial (uma relação de ordem): uma relação \,R\subseteq A\times A\, é uma ordem parcial se satisfaz três propriedades, para todo x,y,z\in A:
  1. Reflexiva: (x,x)\in R. Isso significa que todo elemento é relacionado com ele mesmo. Aqui a variável x representa um elemento arbitrário de A.
  2. Antissimétrica: se (x,y)\in R e (y,x)\in R então x=y. Ou seja, a única forma de ter os dois sentidos é quando os elementos são iguais.
  3. Transitiva: se (x,y)\in R e (y,z)\in R então (x,z)\in R. As variáveis x,y,z são elementos quaisquer de A.
Definição de ordem total (ou linear): uma ordem parcial \,R\, é total se, além das propriedades acima, satisfaz a propriedade de totalidade (ou connex): para todo x,y\in A vale (x,y)\in R ou (y,x)\in R. Isso quer dizer que quaisquer dois elementos são comparáveis.
Agora vamos verificar cada propriedade, uma por uma, usando os pares que o enunciado forneceu.

Passo 3

Verificação da reflexividade.
Queremos mostrar que para todo x\in A temos (x,x)\in R.
Os elementos de A são a,b,c. Na lista de R o enunciado já deu explicitamente os pares (a,a), (b,b) e (c,c). Logo, para cada x\in\{a,b,c\} temos (x,x)\in R. Portanto, \,R\, é reflexiva.
(Comentário amigo: reflexividade é a parte mais simples — o enunciado já entregou os três pares diagonais.)

Passo 4

Verificação da antissimetria.
Lembrando a definição: \,R\, é antissimétrica se sempre que (x,y)\in R e (y,x)\in R acontece que x=y.
Vamos analisar os pares não diagonais que aparecem em R: são (a,b), (b,c) e (a,c). Para que a antissimetria falhasse existiria algum par de elementos distintos x\neq y com ambos (x,y)\in R e (y,x)\in R.
Verificamos os reversos desses pares:
  • O reverso de (a,b) é (b,a). Esse par (b,a) NÃO está na lista de R.
  • O reverso de (b,c) é (c,b). Esse par (c,b) NÃO está em R.
  • O reverso de (a,c) é (c,a). Esse par (c,a) NÃO está em R.
Além disso, os únicos pares em R com ambos os elementos iguais são os três diagonais (a,a),(b,b),(c,c) — nesses casos x=y e a condição da antissimetria é satisfeita trivialmente.
Como não existe nenhum par com elementos distintos em ambas as direções, concluímos que sempre que (x,y)\in R e (y,x)\in R necessariamente x=y. Logo, \,R\, é antissimétrica.

Passo 5

Verificação da transitividade.
Definição recapitular: \,R\, é transitiva se para quaisquer x,y,z\in A, sempre que (x,y)\in R e (y,z)\in R então (x,z)\in R.
Vamos checar todas as possibilidades relevantes. Como A tem só três elementos, podemos olhar os pares em R e ver suas composições:
Pares não diagonais em R: (a,b), (b,c), (a,c). Além desses, temos as diagonais (a,a),(b,b),(c,c).
Agora as composições possíveis que podem gerar um novo par são:
  1. (a,b) seguido de (b,c): temos (a,b)\in R e (b,c)\in R, então pela transitividade deveríamos ter (a,c)\in R. E, de fato, (a,c) está em R (o enunciado deu esse par).
  2. Composições envolvendo pares reflexivos: por exemplo, (x,x) composto com (x,y) ou (x,y) com (y,y). Essas composições não exigem nenhum par novo porque:
    • Se (x,x)\in R e (x,y)\in R então o consequente necessário é (x,y) (que já está presente).
    • Se (x,y)\in R e (y,y)\in R então o consequente necessário é (x,y) (que já está presente).
      Essas situações são satisfeitas porque todas as diagonais estão em R.
  3. Outras possíveis composições com os pares não diagonais já listados:
    • (a,c) só pode ser seguido por um par começando com c. O único par em R que começa com c é (c,c), então (a,c) e (c,c) implicam (a,c) (já em R).
    • (b,c) só pode ser seguido por (c,c), levando de volta a (b,c) (já em R).
    • (a,b) pode compor com (b,b) (resultando em (a,b), já em R) ou com (b,c) (caso 1, já verificado).
      Nenhuma composição de pares em R exige a presença de um par que não esteja já listado em R.
Portanto, para todos x,y,z\in A as hipóteses (x,y)\in R e (y,z)\in R implicam (x,z)\in R. Assim, \,R\, é transitiva.

Passo 6

Verificação da totalidade (comparabilidade/connex).
Definição: \,R\, é total se para quaisquer x,y\in A temos (x,y)\in R ou (y,x)\in R.
Como A tem três elementos, basta checar as três pares de elementos distintos (as diagonais já satisfazem automaticamente com x=y):
  • Para o par \{a,b\}: (a,b)\in R (o enunciado dá esse par). Assim, entre a e b existe comparação.
  • Para o par \{a,c\}: (a,c)\in R. Assim, entre a e c existe comparação.
  • Para o par \{b,c\}: (b,c)\in R. Assim, entre b e c existe comparação.
Em nenhum desses casos falta uma das direções: para cada par de elementos distintos, ao menos uma das duas direções pertence a R. Portanto \,R\, é total.
(Comentário amigo: isso significa que todos os elementos são comparáveis numa única cadeia — aqui intuitivamente a está antes de b e b antes de c.)

Passo 7

Conclusão final juntando tudo.
Já mostramos que \,R\, é reflexiva (Passo 3), antissimétrica (Passo 4) e transitiva (Passo 5). Então \,R\, é uma ordem parcial. Além disso mostramos a propriedade de totalidade (Passo 6): quaisquer dois elementos de A são comparáveis por \,R. Portanto \,R\, é uma ordem total (ou ordem linear) em \,A.
Uma observação interpretativa útil: a relação descreve a cadeia a\preceq b\preceq c, pois (a,b),(b,c),(a,c) estão em R e não existem as direções contrárias entre elementos distintos.

Resposta

R é uma ordem total em A.

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