Explique, com suas palavras, a diferença entre um conjunto parcialmente ordenado e um conjunto totalmente ordenado. Dê um exemplo de um conjunto (e a ordem!) que é parcialmente ordenado mas não é totalmente ordenado.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar a diferença entre um conjunto parcialmente ordenado e um conjunto totalmente ordenado; e dar um exemplo concreto de um conjunto (e a ordem) que é parcialmente ordenado mas não é totalmente ordenado.
Informações dadas: nenhuma específica além do pedido; vou escolher um exemplo simples e intuitivo para mostrar a diferença.

Passo 2

Definição de conjunto parcialmente ordenado (com explicação): um conjunto com uma relação de ordem parcial é um par (S,\preceq) onde S é um conjunto e \preceq é uma relação binária em S que satisfaz três propriedades. Vou escrever cada propriedade e explicar o que significa.
Reflexividade: para todo x\in S vale x\preceq x.
Explicação: cada elemento está relacionado consigo mesmo; isso evita esquisitices tipo “ninguém está ordenado com ele mesmo”.
Antissimetria: para todos x,y\in S, se x\preceq y e y\preceq x então x=y.
Explicação: se dois elementos estão mutuamente relacionados, eles têm que ser o mesmo elemento. Isso impede que elementos distintos fiquem “empatados” como se fossem iguais.
Transitividade: para todos x,y,z\in S, se x\preceq y e y\preceq z então x\preceq z.
Explicação: a ordem deve “passar adiante”: se x vem antes de y e y vem antes de z, então x vem antes de z.
Quando uma relação \preceq tem essas três propriedades, dizemos que (S,\preceq) é um conjunto parcialmente ordenado (ou poset, de “partially ordered set”).

Passo 3

Definição de conjunto totalmente ordenado (com explicação): um conjunto totalmente ordenado (ou ordenação linear) é um poset (S,\preceq) que, além das três propriedades anteriores, satisfaz a propriedade de comparabilidade (ou totalidade):
Comparabilidade (totalidade): para todo x,y\in S vale x\preceq y ou y\preceq x (ou ambos, no caso x=y).
Explicação: quaisquer dois elementos são comparáveis — não existem pares de elementos “incomensuráveis” ou “incomparáveis”. Em uma ordem total, você sempre consegue dizer qual dos dois é menor ou maior (ou que são iguais).
Resumo intuitivo: toda ordem total é uma ordem parcial com o extra de que não há elementos incomparáveis; uma ordem parcial permite que existam elementos que não se relacionam nem numa direção nem na outra.

Passo 4

Escolhi um exemplo simples e visual: o conjunto das partes de A=\{1,2\}, ou seja a família \mathcal{P}(A), com a relação de inclusão \subseteq. Vou listar os elementos (peguei estes dados do exemplo escolhido):
\mathcal{P}(A)=\big\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\big\}.
A ordem que considero é a inclusão de conjuntos, ou seja o par \big(\mathcal{P}(A),\subseteq\big).

Passo 5

Vou verificar passo a passo que \subseteq é uma ordem parcial em \mathcal{P}(A).
Reflexividade: para todo X\in\mathcal{P}(A) temos X\subseteq X porque todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Ex.: \{1\}\subseteq\{1\}. Portanto reflexividade ok.
Antissimetria: se X\subseteq Y e Y\subseteq X então X=Y. Explicação: isso é uma propriedade geral de conjuntos (se cada elemento de X está em Y e vice-versa, os conjuntos têm exatamente os mesmos elementos). Ex.: se \{1\}\subseteq\{1,2\} e \{1,2\}\subseteq\{1\} então teríamos igualdade — mas aqui o segundo não é verdadeiro; quando os dois são verdadeiros isso força igualdade. Portanto antissimetria ok.
Transitividade: se X\subseteq Y e Y\subseteq Z então X\subseteq Z. Isso também é uma propriedade padrão de inclusão de conjuntos. Portanto transitividade ok.
Concluímos que \big(\mathcal{P}(A),\subseteq\big) é um poset (uma ordem parcial).

Passo 6

Agora mostro que essa ordem NÃO é total. Preciso encontrar dois elementos X,Y\in\mathcal{P}(A) tais que nem X\subseteq Y nem Y\subseteq X.
Escolho X=\{1\} e Y=\{2\} (ambos estão na lista de \mathcal{P}(A)). Verifico:
\{1\}\subseteq\{2\} ? Não — porque 1\notin\{2\}.
\{2\}\subseteq\{1\} ? Não — porque 2\notin\{1\}.
Como há pelo menos um par de elementos incomparáveis, a propriedade de comparabilidade falha. Logo \big(\mathcal{P}(A),\subseteq\big) não é uma ordem total.

Passo 7

Interpretação final e dica de prova para a prova (um conselho prático): para mostrar que algo é ordem parcial, prove as três propriedades (reflexiva, antissimétrica, transitiva) uma por uma, dando argumentos simples como fiz aqui. Para mostrar que NÃO é ordem total, basta encontrar um exemplo concreto de dois elementos incomparáveis (como \{1\} e \{2\} acima). Esse contraexemplo é a forma mais direta e rápida em prova.

Resposta

A diferença: um poset (S,\preceq) satisfaz reflexividade, antissimetria e transitividade; um conjunto totalmente ordenado é um poset que, além disso, satisfaz comparabilidade: para todo x,y vale x\preceq y ou y\preceq x.
Exemplo: \big(\mathcal{P}(\{1,2\}),\subseteq\big) é parcialmente ordenado, mas não é totalmente ordenado, pois \{1\} e \{2\} são incomparáveis (nem \{1\}\subseteq\{2\} nem \{2\}\subseteq\{1\}).

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