05 - Valor: 6 pontos Um balão esférico está sendo preenchido com gás. O raio \boldsymbol{r} desse balão, medido em centímetros, aumenta com o tempo t, medido em minutos, de acordo com a expressão r=t+5.
a) Determine o volume do balão no tempo igual a 1 minuto. Justifique sua resposta.
b) Em quantos minutos o balão atingirá o volume \frac{4000 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre o tempo t (em minutos) e o raio r (em centímetros) do balão:
r = t + 5.
Perguntas:
a) Qual é o volume do balão no tempo t=1 minuto?
b) Em que tempo t o volume atinge \displaystyle \frac{4000\pi}{3}\\ \mathrm{cm}^3?
Informações relevantes: a fórmula do raio em função do tempo acima e o valor do volume desejado em (b).

Passo 2

Vamos lembrar (e aprender) a fórmula do volume de uma esfera. A fórmula é:
V = \frac{4}{3}\pi r^{3},
onde V é o volume em \mathrm{cm}^3 e r é o raio em \mathrm{cm}. Aqui \pi é a constante matemática (aprox. 3,1415\ldots). A ideia é: o volume cresce com o cubo do raio — se você dobrar o raio, o volume aumenta por um fator 2^3=8.

Passo 3

Como o raio depende do tempo por r=t+5, substituímos esse r na fórmula do volume para obter o volume em função do tempo:
V(t)=\frac{4}{3}\pi (t+5)^{3}.
Isto significa que, para qualquer tempo t, calculamos t+5, elevamos ao cubo e multiplicamos por \frac{4}{3}\pi.

Passo 4

Agora resolvemos a parte (a): calcular V(1). Primeiro calcule t+5 em t=1:
t+5 = 1+5 = 6.
Eleve ao cubo:
6^{3}=216.
Multiplique por \frac{4}{3}\pi:
V(1)=\frac{4}{3}\pi\cdot 216.
Calcule \frac{4}{3}\cdot 216. Faça passo a passo: \dfrac{216}{3}=72 e 72\cdot 4=288. Logo
V(1)=288\pi\\ \mathrm{cm}^{3}.
Interpretação: no primeiro minuto o balão tem raio 6\\ \mathrm{cm} e volume 288\pi\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 5

Agora a parte (b): queremos achar t tal que
V(t)=\frac{4000\pi}{3}.
Usando V(t)=\dfrac{4}{3}\pi (t+5)^{3}, montamos a equação
\frac{4}{3}\pi (t+5)^{3} = \frac{4000\pi}{3}.

Passo 6

Simplificamos a equação cancelando fatores comuns. Como ambos os lados têm fator \dfrac{\pi}{3}, podemos dividir os dois lados por \dfrac{\pi}{3}, sobrando:
4 (t+5)^{3} = 4000.
Divida ambos os lados por 4:
(t+5)^{3} = 1000.

Passo 7

Agora tiramos a raiz cúbica dos dois lados. A raiz cúbica de 1000 é 10 porque 10^{3}=1000. Assim:
t+5 = 10.
Subtraindo 5 dos dois lados:
t = 10-5 = 5.
Interpretação: após 5 minutos o raio é t+5=10\\ \mathrm{cm} e o volume é \dfrac{4}{3}\pi\cdot 10^{3}=\dfrac{4000\pi}{3}\\ \mathrm{cm}^{3}, como pedido.

Resposta

a) 288\pi\\ \mathrm{cm}^{3}
b) 5\\ \text{minutos}

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