05 - Valor: 6 pontos Um balão esférico está sendo preenchido com gás. O raio
desse balão, medido em centímetros, aumenta com o tempo
, medido em minutos, de acordo com a expressão
.
a) Determine o volume do balão no tempo igual a 1 minuto. Justifique sua resposta.
b) Em quantos minutos o balão atingirá o volume
? Justifique sua resposta.
a) Determine o volume do balão no tempo igual a 1 minuto. Justifique sua resposta.
b) Em quantos minutos o balão atingirá o volume
Passo 1
O enunciado dá a relação entre o tempo
(em minutos) e o raio
(em centímetros) do balão:
Perguntas:
a) Qual é o volume do balão no tempo minuto?
b) Em que tempo o volume atinge
?
Informações relevantes: a fórmula do raio em função do tempo acima e o valor do volume desejado em (b).
a) Qual é o volume do balão no tempo
b) Em que tempo
Informações relevantes: a fórmula do raio em função do tempo acima e o valor do volume desejado em (b).
Passo 2
Vamos lembrar (e aprender) a fórmula do volume de uma esfera. A fórmula é:
onde
é o volume em
e
é o raio em
. Aqui
é a constante matemática (aprox.
). A ideia é: o volume cresce com o cubo do raio — se você dobrar o raio, o volume aumenta por um fator
.
Passo 3
Como o raio depende do tempo por
, substituímos esse
na fórmula do volume para obter o volume em função do tempo:
Isto significa que, para qualquer tempo
, calculamos
, elevamos ao cubo e multiplicamos por
.
Passo 4
Agora resolvemos a parte (a): calcular
. Primeiro calcule
em
:
Eleve ao cubo:
Multiplique por
:
Calcule
. Faça passo a passo:
e
. Logo
Interpretação: no primeiro minuto o balão tem raio
e volume
.
Passo 5
Agora a parte (b): queremos achar
tal que
Usando
, montamos a equação
Passo 6
Simplificamos a equação cancelando fatores comuns. Como ambos os lados têm fator
, podemos dividir os dois lados por
, sobrando:
Divida ambos os lados por
:
Passo 7
Agora tiramos a raiz cúbica dos dois lados. A raiz cúbica de
é
porque
. Assim:
Subtraindo
dos dois lados:
Interpretação: após
minutos o raio é
e o volume é
, como pedido.
Resposta
a)
b)
b)