Seja A o conjunto das retas num determinado plano. Seja R a relação de perpendicularidade, ou seja, duas retas r1 e r2 estão relacionadas se elas são perpendiculares. Essa relação é de equivalência ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é o conjunto de todas as retas de um plano. - A relação
em é definida por: para quaisquer retas , tem-se se, e somente se, é perpendicular a (escrevemos ).
A pergunta do enunciado é:
Essa relação
é uma relação de equivalência?
Passo 2
Vou lembrar o que significa ser uma relação de equivalência. Uma relação em
é equivalência se satisfaz as três propriedades:
- Reflexiva: para todo
vale . - Simétrica: para todo
, se então . - Transitiva: para todo
, se e então .
Cada uma dessas eu vou testar com a definição de perpendicularidade.
Passo 3
Teste de reflexividade:
- Pergunta: para uma reta arbitrária
, é verdade que ? - Intuição/definição: a relação “ser perpendicular” significa que o ângulo entre as duas retas é de
. O ângulo entre uma reta e ela mesma vale , não . - Conclusão: para todo
temos que não é perpendicular a si mesma, isto é, .
Portanto a propriedade reflexiva falha. (Na verdadeé irreflexiva: nenhum satisfaz .)
Passo 4
Teste de simetria:
- Pergunta: se
, então ? - Raciocínio: a relação de perpendicularidade é definida pelo ângulo entre as retas ser
. O ângulo entre e é igual ao ângulo entre e . Logo, se o ângulo é numa direção, também é na outra. - Conclusão:
é simétrica.
Passo 5
Teste de transitividade (a parte que costuma confundir):
- Pergunta: se
e , podemos garantir que ? - Vamos dar um contraexemplo concreto para ver que não:
- Tome
como o eixo : . - Tome
como o eixo : . - Tome
como a reta horizontal paralela ao eixo deslocada: . - Verificações:
-
porque eixo é perpendicular ao eixo . -
porque eixo é perpendicular a qualquer reta horizontal (como ). - Mas
e são paralelas (ambas horizontais), portanto o ângulo entre e é , não . Assim .
-
- Tome
- Conclusão: a transitividade falha — mesmo tendo
e , não temos em geral.
Passo 6
Síntese final das verificações:
- Reflexiva: não (falha).
- Simétrica: sim.
- Transitiva: não (falha, há contraexemplo).
Portanto a relação
não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser uma relação de equivalência.
Resposta
Não. A relação não é de equivalência: ela é simétrica, mas não é reflexiva nem transitiva.