Seja A o conjunto das retas num determinado plano. Seja R a relação de perpendicularidade, ou seja, duas retas r1 e r2 estão relacionadas se elas são perpendiculares. Essa relação é de equivalência ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A é o conjunto de todas as retas de um plano.
  • A relação R em A é definida por: para quaisquer retas r_1,r_2\in A, tem-se (r_1,r_2)\in R se, e somente se, r_1 é perpendicular a r_2 (escrevemos r_1\perp r_2).
A pergunta do enunciado é: Essa relação R é uma relação de equivalência?

Passo 2

Vou lembrar o que significa ser uma relação de equivalência. Uma relação em A é equivalência se satisfaz as três propriedades:
  • Reflexiva: para todo r\in A vale r\,R\,r.
  • Simétrica: para todo r_1,r_2\in A, se r_1\,R\,r_2 então r_2\,R\,r_1.
  • Transitiva: para todo r_1,r_2,r_3\in A, se r_1\,R\,r_2 e r_2\,R\,r_3 então r_1\,R\,r_3.
Cada uma dessas eu vou testar com a definição de perpendicularidade.

Passo 3

Teste de reflexividade:
  • Pergunta: para uma reta arbitrária r, é verdade que r\perp r?
  • Intuição/definição: a relação “ser perpendicular” significa que o ângulo entre as duas retas é de 90^\circ. O ângulo entre uma reta e ela mesma vale 0^\circ, não 90^\circ.
  • Conclusão: para todo r\in A temos que r não é perpendicular a si mesma, isto é, \lnot (r\perp r).
    Portanto a propriedade reflexiva falha. (Na verdade R é irreflexiva: nenhum r satisfaz r\,R\,r.)

Passo 4

Teste de simetria:
  • Pergunta: se r_1\perp r_2, então r_2\perp r_1?
  • Raciocínio: a relação de perpendicularidade é definida pelo ângulo entre as retas ser 90^\circ. O ângulo entre r_1 e r_2 é igual ao ângulo entre r_2 e r_1. Logo, se o ângulo é 90^\circ numa direção, também é 90^\circ na outra.
  • Conclusão: R é simétrica.

Passo 5

Teste de transitividade (a parte que costuma confundir):
  • Pergunta: se r_1\perp r_2 e r_2\perp r_3, podemos garantir que r_1\perp r_3?
  • Vamos dar um contraexemplo concreto para ver que não:
    • Tome r_1 como o eixo x: r_1:\;y=0.
    • Tome r_2 como o eixo y: r_2:\;x=0.
    • Tome r_3 como a reta horizontal paralela ao eixo x deslocada: r_3:\;y=1.
    • Verificações:
      • r_1\perp r_2 porque eixo x é perpendicular ao eixo y.
      • r_2\perp r_3 porque eixo y é perpendicular a qualquer reta horizontal (como y=1).
      • Mas r_1 e r_3 são paralelas (ambas horizontais), portanto o ângulo entre r_1 e r_3 é 0^\circ, não 90^\circ. Assim \lnot (r_1\perp r_3).
  • Conclusão: a transitividade falha — mesmo tendo r_1\,R\,r_2 e r_2\,R\,r_3, não temos r_1\,R\,r_3 em geral.

Passo 6

Síntese final das verificações:
  • Reflexiva: não (falha).
  • Simétrica: sim.
  • Transitiva: não (falha, há contraexemplo).
Portanto a relação R não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser uma relação de equivalência.

Resposta

Não. A relação não é de equivalência: ela é simétrica, mas não é reflexiva nem transitiva.

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