Seja A o conjunto das retas em um plano e R a relação de paralelismo, ou seja, duas retas r1 e r2 estão relacionadas se elas são paralelas. Essa relação é de equivalência?
Passo 1
O enunciado diz: seja
o conjunto de todas as retas em um plano e seja
a relação “ser paralela a” entre retas. Ou seja, duas retas
e
estão relacionadas (
) se elas são paralelas. A pergunta é:
é uma relação de equivalência?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O universo (domínio) é
, o conjunto de todas as retas do plano. - A relação
é: para , quando e são paralelas. - A pergunta é única: verificar se
satisfaz as propriedades que definem uma relação de equivalência.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que é uma relação de equivalência: uma relação
num conjunto
é relação de equivalência quando satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: para todo
vale . - Simétrica: para todo
, se então . - Transitiva: para todo
, se e então .
Vou agora aplicar essas definições à relação “ser paralela a”. Antes de testar cada propriedade, convém explicar o que entendemos por “paralelas”: há duas convenções comuns:
- Convenção A (mais usada em álgebra de relações): diz que duas retas são paralelas se não se intersectam ou são coincidentes — isto é, uma reta é considerada paralela a si mesma.
- Convenção B (algumas definições geométricas elementares): diz que “paralelas” significa “retas distintas que não se intersectam” — nesta definição uma reta não é paralela a si mesma.
Como a pergunta é sobre relação de equivalência (conceito de teoria de relações), a convenção natural para que a relação possa ser avaliada é a Convenção A (permitir que uma reta seja paralela a si mesma). Vou analisar primeiro adotando a Convenção A e, depois, vou comentar o que ocorre se alguém usar a Convenção B.
Passo 3
Verificação da propriedade reflexiva (adotando a Convenção A).
- Definição usada:
é paralela a se ou e são disjuntas (não se intersectam). - Tomando qualquer reta
, ela coincide consigo mesma, ou seja, . Pela definição acima, isto já garante que é paralela a . - Logo, para todo
vale . Conclusão: a relação é reflexiva.
Comentário rápido didático: reflexividade pede que cada coisa esteja relacionada consigo mesma. Se aceitarmos que “paralela” inclui coincidência, então a própria reta é paralela a ela mesma — simples assim.
Passo 4
Verificação da propriedade simétrica.
- Suponha
e que , isto é, é paralela a . - A relação “ser paralela a” é por natureza simétrica: a condição “não se intersectam ou coincidem” é uma condição simétrica entre as duas retas. Se
e não se intersectam (ou coincidem), então também e não se intersectam (ou coincidem). - Formalmente: de
segue imediatamente . - Conclusão: a relação é simétrica.
Explicação amigável: igualdade e “não intersectar” não dependem de ordem; se
está paralelo a
, a situação é a mesma vista ao contrário.
Passo 5
Verificação da propriedade transitiva.
- Queremos mostrar: se
e , então . - Usa-se uma visão prática: em um plano eu posso associar a cada reta uma direção (pense na inclinação/slope; linhas verticais têm “direção especial”). Duas retas são paralelas exatamente quando têm a mesma direção (ou são a mesma reta). Assim, se
tem a mesma direção que e tem a mesma direção que , então e têm a mesma direção — portanto são paralelas. Isso mostra a transitividade de forma clara. - Outro argumento sem falar em direções: considere os casos possíveis dado
e . - Se
ou , a transitividade é trivial (por exemplo, se e então ). - Se todas as três retas são distintas, então de
segue que não intersecta , e de segue que não intersecta . Num plano eu não posso ter duas retas distintas que sejam ambas não-intersectantes com uma mesma reta e, ao mesmo tempo, que se cortem entre si produzindo uma interseção comum com a terceira — de fato, um desenho mental ou o argumento das direções mostra que e também terão a mesma direção e, portanto, não se intersectam. Assim .
- Se
- Conclusão: a relação é transitiva.
Resumo pedagógico: pensar em “direção” (mesma inclinação) torna a transitividade imediata: igualdade de direções é transitiva.
Passo 6
Conclusão final sob a Convenção A:
- Já mostramos que, adotando que “paralela” inclui coincidência (uma reta é paralela a ela mesma), a relação
é reflexiva, simétrica e transitiva. Portanto, sob essa definição é uma relação de equivalência no conjunto .
Observação importante (caso alguém use a Convenção B):
- Se a definição de “paralelas” exigir explicitamente que as retas sejam distintas (ou seja, “paralelas” = “retas distintas que não se intersectam”), então a propriedade reflexiva falha, porque para qualquer reta
não vale (uma reta não é distinta de si mesma). Sendo a reflexividade necessária, não seria, nessa convenção, uma relação de equivalência. - Portanto a resposta depende da definição adotada; na teoria de relações costuma-se usar a definição que inclui a igualdade, o que torna
uma equivalência.
Resposta
Sim — tomando a definição usual em teoria de relações em que uma reta é considerada paralela a si mesma (paralelismo = coincidente ou não-intersectante), a relação é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é uma relação de equivalência.
Se, porém, definir “paralelas” apenas para retas distintas que não se intersectam, então não é equivalente (falha a reflexividade).
Se, porém, definir “paralelas” apenas para retas distintas que não se intersectam, então não é equivalente (falha a reflexividade).