Seja A o conjunto das retas em um plano e R a relação de paralelismo, ou seja, duas retas r1 e r2 estão relacionadas se elas são paralelas. Essa relação é de equivalência?

Passo 1

O enunciado diz: seja A o conjunto de todas as retas em um plano e seja R a relação “ser paralela a” entre retas. Ou seja, duas retas r_1 e r_2 estão relacionadas ( r_1 R r_2) se elas são paralelas. A pergunta é: R é uma relação de equivalência?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O universo (domínio) é A, o conjunto de todas as retas do plano.
  • A relação R é: para r_1,r_2\in A, r_1 R r_2 quando r_1 e r_2 são paralelas.
  • A pergunta é única: verificar se R satisfaz as propriedades que definem uma relação de equivalência.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é uma relação de equivalência: uma relação R num conjunto A é relação de equivalência quando satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: para todo x\in A vale xRx.
  2. Simétrica: para todo x,y\in A, se xRy então yRx.
  3. Transitiva: para todo x,y,z\in A, se xRy e yRz então xRz.
Vou agora aplicar essas definições à relação “ser paralela a”. Antes de testar cada propriedade, convém explicar o que entendemos por “paralelas”: há duas convenções comuns:
  • Convenção A (mais usada em álgebra de relações): diz que duas retas são paralelas se não se intersectam ou são coincidentes — isto é, uma reta é considerada paralela a si mesma.
  • Convenção B (algumas definições geométricas elementares): diz que “paralelas” significa “retas distintas que não se intersectam” — nesta definição uma reta não é paralela a si mesma.
Como a pergunta é sobre relação de equivalência (conceito de teoria de relações), a convenção natural para que a relação possa ser avaliada é a Convenção A (permitir que uma reta seja paralela a si mesma). Vou analisar primeiro adotando a Convenção A e, depois, vou comentar o que ocorre se alguém usar a Convenção B.

Passo 3

Verificação da propriedade reflexiva (adotando a Convenção A).
  • Definição usada: r é paralela a s se r=s ou r e s são disjuntas (não se intersectam).
  • Tomando qualquer reta r\in A, ela coincide consigo mesma, ou seja, r=r. Pela definição acima, isto já garante que r é paralela a r.
  • Logo, para todo r\in A vale rRr. Conclusão: a relação é reflexiva.
Comentário rápido didático: reflexividade pede que cada coisa esteja relacionada consigo mesma. Se aceitarmos que “paralela” inclui coincidência, então a própria reta é paralela a ela mesma — simples assim.

Passo 4

Verificação da propriedade simétrica.
  • Suponha r_1,r_2\in A e que r_1 R r_2, isto é, r_1 é paralela a r_2.
  • A relação “ser paralela a” é por natureza simétrica: a condição “não se intersectam ou coincidem” é uma condição simétrica entre as duas retas. Se r_1 e r_2 não se intersectam (ou coincidem), então também r_2 e r_1 não se intersectam (ou coincidem).
  • Formalmente: de r_1 R r_2 segue imediatamente r_2 R r_1.
  • Conclusão: a relação é simétrica.
Explicação amigável: igualdade e “não intersectar” não dependem de ordem; se r_1 está paralelo a r_2, a situação é a mesma vista ao contrário.

Passo 5

Verificação da propriedade transitiva.
  • Queremos mostrar: se r_1 R r_2 e r_2 R r_3, então r_1 R r_3.
  • Usa-se uma visão prática: em um plano eu posso associar a cada reta uma direção (pense na inclinação/slope; linhas verticais têm “direção especial”). Duas retas são paralelas exatamente quando têm a mesma direção (ou são a mesma reta). Assim, se r_1 tem a mesma direção que r_2 e r_2 tem a mesma direção que r_3, então r_1 e r_3 têm a mesma direção — portanto são paralelas. Isso mostra a transitividade de forma clara.
  • Outro argumento sem falar em direções: considere os casos possíveis dado r_1 R r_2 e r_2 R r_3.
    1. Se r_1 = r_2 ou r_2 = r_3, a transitividade é trivial (por exemplo, se r_1=r_2 e r_2Rr_3 então r_1Rr_3).
    2. Se todas as três retas são distintas, então de r_1 R r_2 segue que r_1 não intersecta r_2, e de r_2 R r_3 segue que r_2 não intersecta r_3. Num plano eu não posso ter duas retas distintas que sejam ambas não-intersectantes com uma mesma reta e, ao mesmo tempo, que se cortem entre si produzindo uma interseção comum com a terceira — de fato, um desenho mental ou o argumento das direções mostra que r_1 e r_3 também terão a mesma direção e, portanto, não se intersectam. Assim r_1Rr_3.
  • Conclusão: a relação é transitiva.
Resumo pedagógico: pensar em “direção” (mesma inclinação) torna a transitividade imediata: igualdade de direções é transitiva.

Passo 6

Conclusão final sob a Convenção A:
  • Já mostramos que, adotando que “paralela” inclui coincidência (uma reta é paralela a ela mesma), a relação R é reflexiva, simétrica e transitiva. Portanto, sob essa definição R é uma relação de equivalência no conjunto A.
Observação importante (caso alguém use a Convenção B):
  • Se a definição de “paralelas” exigir explicitamente que as retas sejam distintas (ou seja, “paralelas” = “retas distintas que não se intersectam”), então a propriedade reflexiva falha, porque para qualquer reta r não vale rRr (uma reta não é distinta de si mesma). Sendo a reflexividade necessária, R não seria, nessa convenção, uma relação de equivalência.
  • Portanto a resposta depende da definição adotada; na teoria de relações costuma-se usar a definição que inclui a igualdade, o que torna R uma equivalência.

Resposta

Sim — tomando a definição usual em teoria de relações em que uma reta é considerada paralela a si mesma (paralelismo = coincidente ou não-intersectante), a relação é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é uma relação de equivalência.
Se, porém, definir “paralelas” apenas para retas distintas que não se intersectam, então não é equivalente (falha a reflexividade).

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