PROPOSIÇÃO 1. Seja
uma relação de equivalência em um conjunto
e sejam
. Então
-
-
-
Passo 1
O enunciado dá uma relação de equivalência
em um conjunto
e pede para mostrar três propriedades envolvendo as classes de equivalência. As informações relevantes que temos são:
- A relação
é uma relação de equivalência em . Isso significa que, para todo , - reflexividade:
, - simetria:
, - transitividade:
e .
- reflexividade:
- Para cada
definimos a classe de equivalência de por . - As três afirmações a serem demonstradas são:
-
. -
. -
.
-
A partir daqui começamos a provar cada uma, passo a passo.
Passo 2
Definição explícita e lembretes úteis (para usar durante as provas).
- Por definição,
. - Observação prática:
significa, por definição, que . - Usaremos diretamente as propriedades de relação de equivalência (reflexividade, simetria, transitividade) quando necessário.
Agora vamos provar o item 1:.
Prova de
:
- Se
, então todo elemento de está em . - Em particular,
(porque é reflexiva, então ), logo . - De
segue (pela definição de ). - Usando simetria, de
obtemos . - Portanto
.
Passo 3
Prova de
:
- Suponha
. Queremos mostrar que . Para isso mostramos duas inclusões e .
Provar
:
- Tome qualquer
. Então, por definição, . - Como
(hipótese) e é transitiva, de e segue . - Logo
. Assim todo pertence a , ou seja .
Provar
:
-
A mesma argumentação trocando
por . Tome . Então . -
Como
e por simetria , usando transitividade de e obtemos . -
Logo
. Assim . -
Concluímos que
. Isso completa a prova do item 1.
Passo 4
Agora provamos o item 2:
.
É mais direto provar a contrapartida lógica equivalente: se
então
. A partir disso o enunciado desejado vem como contraposso.
Prova por contraposição:
- Suponha que
. Então existe tal que e . - Da condição
obtemos . Da condição obtemos . - Pela simetria, de
segue . - Pela transitividade, de
e segue . - Pelo item 1 já demonstrado,
implica . - Assim
. - Tomando o contraposso:
. Isso prova o item 2.
Passo 5
Agora provamos o item 3:
.
Mostramos as duas inclusões:
-
:
- Cada
é um subconjunto de por definição ( contém elementos de que são equivalentes a ). Logo a união de subconjuntos de também está contida em . - Portanto
.
-
:
- Tome qualquer
. Pela reflexividade da relação, . - Assim
. - Logo
pertence à união (pois é um dos conjuntos que estão sendo unidos). - Como
foi um elemento arbitrário de , segue que .
Juntando as duas inclusões obtemos
, provando o item 3.
Passo 6
Interpretação final e intuição (para lembrar na prova):
- As três propriedades juntas dizem que as classes de equivalência
formam uma partição de : cada elemento de está em alguma classe (item 3), duas classes distintas não se sobrepõem (item 2) e duas classes coincidem exatamente quando os representantes são equivalentes (item 1). - Concretamente, sempre que for trabalhar com classes de equivalência, lembre-se: igualdade de classes ≡ representantes equivalentes; interseção não vazia ≡ igualdade; e as classes cobrem todo o conjunto.