PROPOSIÇÃO 1. Seja \sim uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam x, y \in A. Então
  1. \bar{x}=\bar{y} \Leftrightarrow x \sim y
  2. \bar{x} \neq \bar{y} \Rightarrow \bar{x} \cap \bar{y}=\varnothing
  3. \bigcup_{x \in A} \bar{x}=A

Passo 1

O enunciado dá uma relação de equivalência \sim em um conjunto A e pede para mostrar três propriedades envolvendo as classes de equivalência. As informações relevantes que temos são:
  • A relação \sim é uma relação de equivalência em A. Isso significa que, para todo u,v,w\in A,
    • reflexividade: u\sim u,
    • simetria: u\sim v \Rightarrow v\sim u,
    • transitividade: u\sim v e v\sim w \Rightarrow u\sim w.
  • Para cada x\in A definimos a classe de equivalência de x por \bar{x}=\{z\in A \mid z\sim x\}.
  • As três afirmações a serem demonstradas são:
    1. \bar{x}=\bar{y} \Leftrightarrow x \sim y.
    2. \bar{x} \neq \bar{y} \Rightarrow \bar{x} \cap \bar{y}=\varnothing.
    3. \bigcup_{x \in A} \bar{x}=A.
A partir daqui começamos a provar cada uma, passo a passo.

Passo 2

Definição explícita e lembretes úteis (para usar durante as provas).
  • Por definição, \bar{x}=\{z\in A \mid z\sim x\}.
  • Observação prática: y\in\bar{x} significa, por definição, que y\sim x.
  • Usaremos diretamente as propriedades de relação de equivalência (reflexividade, simetria, transitividade) quando necessário.
    Agora vamos provar o item 1: \bar{x}=\bar{y} \Leftrightarrow x \sim y.
Prova de \bar{x}=\bar{y} \Rightarrow x\sim y:
  • Se \bar{x}=\bar{y}, então todo elemento de \bar{y} está em \bar{x}.
  • Em particular, y\in\bar{y} (porque \sim é reflexiva, então y\sim y), logo y\in\bar{x}.
  • De y\in\bar{x} segue y\sim x (pela definição de \bar{x}).
  • Usando simetria, de y\sim x obtemos x\sim y.
  • Portanto \bar{x}=\bar{y}\Rightarrow x\sim y.

Passo 3

Prova de x\sim y \Rightarrow \bar{x}=\bar{y}:
  • Suponha x\sim y. Queremos mostrar que \bar{x}=\bar{y}. Para isso mostramos duas inclusões \bar{x}\subseteq\bar{y} e \bar{y}\subseteq\bar{x}.
Provar \bar{x}\subseteq\bar{y}:
  • Tome qualquer z\in\bar{x}. Então, por definição, z\sim x.
  • Como x\sim y (hipótese) e \sim é transitiva, de z\sim x e x\sim y segue z\sim y.
  • Logo z\in\bar{y}. Assim todo z\in\bar{x} pertence a \bar{y}, ou seja \bar{x}\subseteq\bar{y}.
Provar \bar{y}\subseteq\bar{x}:
  • A mesma argumentação trocando x por y. Tome w\in\bar{y}. Então w\sim y.
  • Como x\sim y e por simetria y\sim x, usando transitividade de w\sim y e y\sim x obtemos w\sim x.
  • Logo w\in\bar{x}. Assim \bar{y}\subseteq\bar{x}.
  • Concluímos que \bar{x}=\bar{y}. Isso completa a prova do item 1.

Passo 4

Agora provamos o item 2: \bar{x} \neq \bar{y} \Rightarrow \bar{x} \cap \bar{y}=\varnothing.
É mais direto provar a contrapartida lógica equivalente: se \bar{x}\cap\bar{y}\neq\varnothing então \bar{x}=\bar{y}. A partir disso o enunciado desejado vem como contraposso.
Prova por contraposição:
  • Suponha que \bar{x}\cap\bar{y}\neq\varnothing. Então existe z\in A tal que z\in\bar{x} e z\in\bar{y}.
  • Da condição z\in\bar{x} obtemos z\sim x. Da condição z\in\bar{y} obtemos z\sim y.
  • Pela simetria, de z\sim x segue x\sim z.
  • Pela transitividade, de x\sim z e z\sim y segue x\sim y.
  • Pelo item 1 já demonstrado, x\sim y implica \bar{x}=\bar{y}.
  • Assim \bar{x}\cap\bar{y}\neq\varnothing \Rightarrow \bar{x}=\bar{y}.
  • Tomando o contraposso: \bar{x}\neq\bar{y} \Rightarrow \bar{x}\cap\bar{y}=\varnothing. Isso prova o item 2.

Passo 5

Agora provamos o item 3: \displaystyle \bigcup_{x\in A}\bar{x}=A.
Mostramos as duas inclusões:
  1. \displaystyle \bigcup_{x\in A}\bar{x}\subseteq A:
  • Cada \bar{x} é um subconjunto de A por definição ( \bar{x} contém elementos de A que são equivalentes a x). Logo a união de subconjuntos de A também está contida em A.
  • Portanto \displaystyle \bigcup_{x\in A}\bar{x}\subseteq A.
  1. A\subseteq \displaystyle \bigcup_{x\in A}\bar{x}:
  • Tome qualquer a\in A. Pela reflexividade da relação, a\sim a.
  • Assim a\in\bar{a}.
  • Logo a pertence à união \displaystyle \bigcup_{x\in A}\bar{x} (pois \bar{a} é um dos conjuntos que estão sendo unidos).
  • Como a foi um elemento arbitrário de A, segue que A\subseteq \displaystyle \bigcup_{x\in A}\bar{x}.
Juntando as duas inclusões obtemos \displaystyle \bigcup_{x\in A}\bar{x}=A, provando o item 3.

Passo 6

Interpretação final e intuição (para lembrar na prova):
  • As três propriedades juntas dizem que as classes de equivalência \{\bar{x}:x\in A\} formam uma partição de A: cada elemento de A está em alguma classe (item 3), duas classes distintas não se sobrepõem (item 2) e duas classes coincidem exatamente quando os representantes são equivalentes (item 1).
  • Concretamente, sempre que for trabalhar com classes de equivalência, lembre-se: igualdade de classes ≡ representantes equivalentes; interseção não vazia ≡ igualdade; e as classes cobrem todo o conjunto.

Resposta

\bar{x}=\bar{y} \Leftrightarrow x \sim y
\bar{x} \neq \bar{y} \Rightarrow \bar{x} \cap \bar{y}=\varnothing
\displaystyle \bigcup_{x \in A} \bar{x}=A

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