Considere \mathcal{L}(y)(s)=Y(s). Determine y(t) :
(a) Y(s)=\frac{2}{s^{2}(s+2)(s-1)}+\frac{1}{(s+2)(s-1)}
(b) Y(s)=\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}

Passo 1

O problema pede para determinar y(t) cuja transformada de Laplace é dada em dois casos separados:
(a) \;Y(s)=\dfrac{2}{s^{2}(s+2)(s-1)}+\dfrac{1}{(s+2)(s-1)}.
(b) \;Y(s)=\dfrac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}.
Ou seja, para cada caso é preciso calcular a transformada inversa de Laplace y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}. As informações relevantes que já temos são as expressões de Y(s) acima.

Passo 2

Relembrando regras e pares básicos de Laplace que vamos usar (tudo em notação TeX):
  • Linearidade: \mathcal{L}^{-1}\{aF(s)+bG(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.
  • Pares fundamentais:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\right\}=\cos(\omega t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+\omega^{2}}\right\}=\frac{1}{\omega}\sin(\omega t).
  • Técnica que usaremos: decomposição em frações parciais para escrever Y(s) como soma de termos correspondentes aos pares acima.

Passo 3

Começando pelo item (a). Escrevo Y(s) como soma de duas parcelas e trato cada uma separadamente:
Y(s)=\underbrace{\frac{2}{s^{2}(s+2)(s-1)}}_{Y_1(s)}+\underbrace{\frac{1}{(s+2)(s-1)}}_{Y_2(s)}.
Vou inverter \;Y_2(s) e \;Y_1(s) separadamente e somar.

Passo 4

Resolver \;Y_2(s)=\dfrac{1}{(s+2)(s-1)} por frações parciais. Procuro constantes A,B tais que
\frac{1}{(s+2)(s-1)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando por (s-1)(s+2) obtemos 1=A(s+2)+B(s-1). Avalio em valores convenientes:
  • Para s=1: 1=A(3)\Rightarrow A=\dfrac{1}{3}.
  • Para s=-2: 1=B(-3)\Rightarrow B=-\dfrac{1}{3}.
Logo
Y_2(s)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+2}.
Aplicando inversa:
\mathcal{L}^{-1}\{Y_2(s)\}=\frac{1}{3}e^{t}-\frac{1}{3}e^{-2t}.

Passo 5

Agora trato \;Y_1(s)=\dfrac{2}{s^{2}(s+2)(s-1)}. Como há fator s^{2} no denominador, uso a forma de frações parciais
\frac{2}{s^{2}(s+2)(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s-1}+\frac{D}{s+2}.
Multiplico pelos denominadores para obter a identidade
2 = A\,s(s-1)(s+2)+B\,(s-1)(s+2)+C\,s^{2}(s+2)+D\,s^{2}(s-1).
Vou determinar A,B,C,D usando substituições e um ponto extra.

Passo 6

Determino as constantes usando valores de s:
  • Para s=0: 2 = B\,( -1)(2) = -2B \Rightarrow B=-1.
  • Para s=1: 2 = C\cdot 1^{2}\cdot(1+2)=3C \Rightarrow C=\dfrac{2}{3}.
  • Para s=-2: 2 = D\cdot(-2)^{2}\cdot(-2-1)=D\cdot 4\cdot(-3)=-12D \Rightarrow D=-\dfrac{1}{6}.
Ainda falta A. Uso um outro valor prático, por exemplo s=2, e substituo todos os valores conhecidos:
2 = A\cdot 2\cdot(2-1)\cdot(2+2) + B(2-1)(2+2) + C\cdot 2^{2}(2+2) + D\cdot 2^{2}(2-1).
Compute termo a termo com B=-1,\;C=\tfrac{2}{3},\;D=-\tfrac{1}{6}:
2 = 8A + 4B + 16C +4D.
Substituindo os números:
2 = 8A + 4(-1) + 16\left(\tfrac{2}{3}\right) + 4\left(-\tfrac{1}{6}\right).
Calculo passo a passo:
4(-1)=-4,\quad 16\cdot\frac{2}{3}=\frac{32}{3},\quad 4\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)=-\frac{2}{3}.
Somando constantes: -4+\dfrac{32}{3}-\dfrac{2}{3}=-4+\dfrac{30}{3}=-4+10=6. Assim
2 = 8A + 6 \Rightarrow 8A = -4 \Rightarrow A = -\frac{1}{2}.
Portanto os coeficientes são
A=-\frac{1}{2},\quad B=-1,\quad C=\frac{2}{3},\quad D=-\frac{1}{6}.

Passo 7

Escrevo \;Y_1(s) com essas frações:
\frac{2}{s^{2}(s+2)(s-1)}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{s+2}.
Agora aplico a transformada inversa termo a termo usando os pares do Passo 2:
\mathcal{L}^{-1}\{Y_1(s)\}=-\frac{1}{2}\cdot 1 \;+\;(-1)\cdot t \;+\;\frac{2}{3}e^{t}\;-\;\frac{1}{6}e^{-2t}.
Ou seja
\mathcal{L}^{-1}\{Y_1(s)\}=-\frac{1}{2}-t+\frac{2}{3}e^{t}-\frac{1}{6}e^{-2t}.

Passo 8

Somando as contribuições de \mathcal{L}^{-1}\{Y_1\} e \mathcal{L}^{-1}\{Y_2\} obtemos y(t) para o item (a):
y(t)=\Big(-\frac{1}{2}-t+\frac{2}{3}e^{t}-\frac{1}{6}e^{-2t}\Big)+\Big(\frac{1}{3}e^{t}-\frac{1}{3}e^{-2t}\Big).
Agrupando termos semelhantes:
\text{termos }e^{t}:\;\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1, \qquad \text{termos }e^{-2t}:\;-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}.
Portanto
\boxed{\,y(t)=e^{t}-t-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-2t}\\ } \quad\text{(resultado para o item (a)).}

Passo 9

Agora o item (b): \;Y(s)=\dfrac{3}{(s-1)(s^{2}+4)}. Faço frações parciais na forma
\frac{3}{(s-1)(s^{2}+4)}=\frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s^{2}+4) obtemos
3=A(s^{2}+4)+(Bs+C)(s-1).
Avalio em s=1 para achar A:
3=A(1+4)=5A\Rightarrow A=\frac{3}{5}.
Agora expandindo e igualando coeficientes: escrevo o lado direito como
A s^{2}+4A + B s^{2} - B s + C s - C = (A+B)s^{2}+(-B+C)s+(4A-C).
Comparo com o lado esquerdo 3, que é 0\cdot s^{2}+0\cdot s+3. Assim:
A+B=0,\qquad -B+C=0,\qquad 4A-C=3.
Da primeira equação B=-A=-\dfrac{3}{5}. Da segunda C=B=-\dfrac{3}{5}. A terceira é satisfeita (verificação rápida: 4A-C=4\cdot\dfrac{3}{5}-(-\dfrac{3}{5})=\dfrac{12}{5}+\dfrac{3}{5}=3). Logo
A=\frac{3}{5},\quad B=-\frac{3}{5},\quad C=-\frac{3}{5}.

Passo 10

Escrevo então
Y(s)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{3}{5}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.
Aplico a transformada inversa termo a termo usando os pares do Passo 2 (aqui \omega=2):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-1}\right\}=e^{t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+4}\right\}=\cos(2t),\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}\sin(2t).
Portanto
y(t)=\frac{3}{5}e^{t}-\frac{3}{5}\cos(2t)-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t).
Simplificando o último coeficiente:
\boxed{\,y(t)=\frac{3}{5}e^{t}-\frac{3}{5}\cos(2t)-\frac{3}{10}\sin(2t)\\ } \quad\text{(resultado para o item (b)).}

Resposta

(a) y(t)=e^{t}-t-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}e^{-2t}
(b) y(t)=\dfrac{3}{5}e^{t}-\dfrac{3}{5}\cos(2t)-\dfrac{3}{10}\sin(2t)

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