Suponha que o tempo de vida de uma determinada espécie de inseto tenha um modelo exponencial de parâmetro \alpha=\frac{1}{12} dia. Suponha também que estes insetos atinjam a maturidade sexual após 3 dias de seu nascimento.
(a) Qual é a função acumulada de probabilidade e a função densidade de probabilidade, em dias, do tempo de vida dos insetos que conseguem se reproduzir?
(b) Qual é a probabilidade de que um inseto reprodutor viva mais de 24 dias?
\begin{array}{r}
\text { R. (a) } F(r)=1-e^{-\frac{(r-3)}{12}}, r \geq 3, F(r)=0, r<3 \\
\text { e } f(r)=\frac{1}{12} e^{-\frac{(r-3)}{12}}, r \geq 3, f(r)=0, r<3 \text { (b) } 0,1738
\end{array}
Passo 1
O enunciado diz que o tempo de vida T de um inseto segue a distribuição exponencial de parâmetro \alpha=\tfrac{1}{12} dia, ou seja
Como só interessam os insetos que atingem maturidade aos 3 dias T\ge3, queremos a distribuição condicional de T dado T\ge3. Na parte (a) calculamos a função acumulada e a densidade dessa distribuição; na parte (b) usamos esses resultados para achar P(T>24\mid T\ge3).
Passo 2
Para r<3 obviamente não pode ter nascido e sobrevivido aos 3 dias, então