1. Suponha que o tempo de vida de uma determinada espécie de inseto tenha um modelo exponencial de parâmetro \alpha=\frac{1}{12} dia. Suponha também que estes insetos atinjam a maturidade sexual após 3 dias de seu nascimento.
    (a) Qual é a função acumulada de probabilidade e a função densidade de probabilidade, em dias, do tempo de vida dos insetos que conseguem se reproduzir?
    (b) Qual é a probabilidade de que um inseto reprodutor viva mais de 24 dias?
\begin{array}{r} \text { R. (a) } F(r)=1-e^{-\frac{(r-3)}{12}}, r \geq 3, F(r)=0, r<3 \\ \text { e } f(r)=\frac{1}{12} e^{-\frac{(r-3)}{12}}, r \geq 3, f(r)=0, r<3 \text { (b) } 0,1738 \end{array}

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida T de um inseto segue a distribuição exponencial de parâmetro \alpha=\tfrac{1}{12} dia, ou seja
F_T(t)=1-e^{-\frac{t}{12}},\quad f_T(t)=\frac{1}{12}e^{-\frac{t}{12}},\;t\ge0.
Como só interessam os insetos que atingem maturidade aos 3 dias T\ge3, queremos a distribuição condicional de T dado T\ge3. Na parte (a) calculamos a função acumulada e a densidade dessa distribuição; na parte (b) usamos esses resultados para achar P(T>24\mid T\ge3).

Passo 2

Para r<3 obviamente não pode ter nascido e sobrevivido aos 3 dias, então
F_R(r)=0,\quad f_R(r)=0,\;r<3.
Para r\ge3 a função acumulada condicional é
F_R(r) =\Pr(T\le r\mid T\ge3) =\frac{\Pr(3\le T\le r)}{\Pr(T\ge3)} =\frac{\bigl(1-e^{-\frac{r}{12}}\bigr)-\bigl(1-e^{-\frac{3}{12}}\bigr)}{e^{-\frac{3}{12}}} =1-e^{-\frac{r-3}{12}}.
Derivando em r\ge3 obtemos a densidade
f_R(r)=\frac{d}{dr}F_R(r) =\frac{1}{12}e^{-\frac{r-3}{12}}.

Passo 3

Para calcular a probabilidade de que um inseto reprodutor viva mais de 24 dias, usamos
\Pr(R>24) =1-F_R(24) =e^{-\frac{24-3}{12}} =e^{-1,75}\approx0{,}1738.

Resposta

(a)
F_R(r)= \begin{cases} 0, & r<3,\\\\ 1-e^{-\frac{r-3}{12}}, & r\ge3, \end{cases}
f_R(r)= \begin{cases} 0, & r<3,\\\ \dfrac{1}{12}e^{-\frac{r-3}{12}}, & r\ge3. \end{cases}
(b) \displaystyle 0{,}1738

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